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7) Curve spanili. 



Proponiamoci ora quest' ultima questione. Supponiamo le 

 x(x i x ì ) non più coordinate omogenee di punti di una retta, ma 

 coordinate cartesiane dei punti di un piano ; immaginiamo poi 

 '^ v =z(ÌXi '. %ì = d%.>. Le variabili x e e: saranno in questo caso 

 cogredienti . supposto di conservare l'origine degli assi, cambian- 

 done la loro direzione. Integrata l'equazione differenziale che così 

 si ottiene . si avrà l' equazione di una curva , che attraversa le 

 rette del fascio passante per l'origine, sotto un angolo eguale a 

 quello che fa il raggio vettore colla retta a lui corrispondente. 



Posto x l = tx ìì donde dx l = tdx i -\-x i dt , si ha, sosti- 

 tuendo ed integrando, 



C a t s + 2a i t + a ì 



J(a f + [2a l ^a ]t i + [a ì + 2a i ']t + a i )' ° g X * ' 



Supponiamo che i tre fattori lineari del denominatore siano 



disuguali, e siano ot t , y., . oc 3 le tre radici ; avremo , indicando 



con Ai , A 2 , A 3 , tre costanti , e con C la costante d'integra- 

 zione : 



— log C x., = A, log (t— aj -+- A, log (t— a 2 ) + A 3 log (t-v 3 ) 



1 .4, A t A 3 



ossia — — - = <t— ocA (t — y.i) (t—y. 3 ) , dove J. 1 +J., + A 3 =ì. 

 C x 



Sostituendo a £, — , e moltiplicando tutto per x, = x t ' * 3 , 

 x 2 



avremo (cambiato il significato di C ) ■ 



A A A 



[1] . . . C=(x l — y. l x,f ì (x 1 — a,x.,) i {x i — a ì x ì ) 3 , 



equazione cercata, nella quale non occorre più sia A x -\- A t -\r A 3 =.\ . 

 Queste curve sono algebriche , quando A { , A, . A 3 sono com- 

 mensurabili ; «, , y, , y 3 poi sono i rapporti direttivi dei 3 raggi 

 uniti, essendo le radici dell'equazione che si ha ponendo !,=#,, 

 £ 2 = ,r 2 . È facile a vedersi, come, avendo la [1], in cui le co- 

 stanti siano qualunque , e differenziandola , si pervenga ad una 

 equazione differenziale contenente al" grado le d x , ed a 2° grado 

 ed omogeneamente le x. 



