464 A. CASTIGLIANO 



I polinomi chiusi fra parentesi nel secondo membro non sono 

 altro che i secondi membri delle equazioni (2) colla sostituzione 

 delle forze P', Q ', R' , . . . alle forze P , Q , R , . . . , e perciò 

 esprimono gli spostamenti p ', q, r, ... ; quindi si ha 



P'p + Q'q+B'r+ . . . =Pp'+Q q '+Br'+ ..., (4) 



cioè: 



In un corpo elastico, due sistemi eli forze applicate agli 

 stessi punti e nelle stesse direzioni, corrispondono a due tali 



sistemi di spostanu idi. che, la som ma dei prodotti delle forze 

 del primo sistema per fili spostamenti del secondo, è uguale 

 atta somma dei prodotti delle forze del secondo sistema per 

 (/li spostamenti del primo. 



II Prof. Betti ha ottenuto questo teorema partendo dalle 

 equazioni generali dell'elasticità dei solidi . e vi ha dato una 

 forma analitica diversa dalla precedente, ma contenuta in essa. 

 Difatti, se per un corpo o sistema elastico chiamasi p la den- 

 sità nel punto di coordinate x, y , z, 



u, v, tv gli spostamenti di quel punto parallelamente agli 

 assi delle coordinate , 



X, Y, Z le componenti, riferite all'unità di massa, della 

 forza applicata all'elemento di volume d S nel punto considerato, 



L, M, N le componenti, riferite all'unità di superficie, della 

 forza applicata all'elemento ds della superficie del corpo. 



u, v , w un altro sistema di spostamenti, 



X', Y', Z e L' , 31', N' il corrispondente sistema di forze, 

 è chiaro che la forinola (4) diventa in questo caso 



fa (X u -+- Y v -+- Z w) d S -h f(Z u -h M v -+- Niv) d s 



S s 



=fp(X'u -+- Y'v-hZ'iv)d,S-h ÙL'u +M'v-i-N'w)ds , 



avvertendo che il simbolo I indica un'integrazione estesa a tutta 

 la massa del corpo, e il simbolo I indica un'integrazione estesa 



s 



a tutta la sua superfìcie. È questa precisamente l'equazione data 

 dal Prof. Betti. 



La forma più semplice che qui abbiam dato a questo teo- 



