482 ENRICO NOVARESE 



in virtù dell' identità 



Ma la forinola in questione si verifica per i=\, 2. dunque essa 

 si verifica in generale. 



Mettendo nella (2) in luogo di a |4 _ a A, r il suo valore, risulta 



i r-\ 



k—i 



"" = Zj. <_i) '(i)Xj/ ri(_a * ,r 



indicando con S k la somma dei prodotti delle quantità fi— 1 , 

 fi. — 2 , .... [i — r + 1 combinate /.• a /r ; e questo si può 

 scrivere 



r — i i 



(3)... a^ = Y^(-2y-^S K y j (-ì)^ )/,'-*- . 

 o o 



Tale equazione ci rivela due importanti proprietà dei nu- 

 meri a. Supponiamo i = r — 1: allora è noto (*) che l'ultimo 

 2 per l- = () vale (— l) r ~' (r — 1) ! , e pegli altri valori di k 

 è nullo ; dunque 



(4)... ^'=^('-1)! • 



Se invece assumiamo i=r , il secondo 2 è sempre zero; 

 dunque 



(5)... B W=0 (-). 



(*) Ricordiamo le forinole di analisi combinatoria : 



i =n 



2 j( -,r'(»),»- = o, 



purché a sia intero positivo e non maggiore di n. 



(**) Anche queste due equazioni [(4) e (5)] si potrebbero stabilire im- 

 mediatamente colla teoria delle differenze finite, riguardando e h r come una 

 funzione razionale intera di /* del grado r — 1 . 



