488 ENRICO NOVARESE 



È probabile che , nei singoli casi particolari , si presentino 

 spontanee nuove semplificazioni, ma nel caso generale non pai- 

 conveniente il procedere oltre. Una sola ne accennerò ancora, e 

 consiste nell'abbassare la grandezza numerica dei coefficienti A. 

 Ciò è reso possibile dal fatto che « in ognuna delle prime u 

 verticali, tutti i coefficienti sono divisibili pel primo coefficiente 

 non nullo ». 



Infatti, in una qualsiasi di queste colonne il -primo coeffi- 

 ciente diverso da zero è A 2y v , cioè a' ' ; e questo sappiamo 

 [eq. (4)] che vale 



D'altra parte, una qualunque delle A successive, p. es. A lvv+a , 

 («=1,2 v), vale [eq. (3)] 



O 



ossia (giacché la seconda somma è zero per kz>a) 



2- y\ (-2r*s A .y ( ~ i r— * / v ~~ x \h 



, + a—k—ì 



i+a—k- 



Ora è dimostrato (') che ogni numero 5] ( — 1)"~'( ) 



tl+p 



( dove p è un intiero positivo qualunque ) è divisibile per n ! : 

 dunque ogni numero A 2V v + a sarà divisibile per A 2VV , c.d.d. 

 Per compiere lo studio dell'equazione (A) potrebbe pro- 

 porsi di esibire l'espressione di — ; in funzione di s, e, A : 



ds r 



. d r .c& 

 io starò contento ad indicarne la forma. Dico che — — — — è un 



ds r 



fratto avente per numeratore una funzione razionale intera di 



e 1 A 1 del grado r — 1, i cui coefficienti sono funzioni razionali 



(*) F. Gerbaldi, Nota sopra alcune applicai, di una formolo combinat., 

 Giorn. Battaglini, voi. XVIII. 



