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il che prova che , se la legge è vera per /• derivazioni , è vera 

 per r + 1. Ma l'equazione (G) ci mostra che la legge è vera 

 per r = ì , dunque essa è vera in generale. 



§ 3. 



I paragrafi precedenti erano scritti quando ebbi notizia di 

 due forinole di moltiplicazione pel seno amplitudine, dovute al 

 Prof. Brioschi (*), le quali offrono qualche analogia colle nostre. 

 Tali forinole sono rivolte a dimostrare un enunciato di Jacobi. 

 Dice il Brioschi, che, in una delle j\" emorie di Jacobi intorno 

 alle funzioni ellittiche, pubblicate nei primi volumi del Crelle, 

 il celebre analista osserva come le forinole pella moltiplicazione 

 delle funzioni ellittiche « possono essere semplicemente formate 

 per mezzo di talune espressioni delle derivate di due particolari 

 funzioni irrazionali che egli assegna , aggiungendo , ad esempio , 

 le formole relative dalla duplicazione alla quintuplicazione » (**). 

 E , ad avviso del Brioschi , se nessuno , nelle ricerche posteriori 

 sulla teorica della moltiplicazione, tenne presente « quel primo 

 risultato ottenuto da Jacobi , ... fu a torto , giacché . . . esso 

 costituisce quanto di più generale sia stato scritto sulla quistione » . 



Dette rispettivamente A {r \ B {r) le derivate r esin,c delle fun- 



. . e A , 



zioni s e A , — rispetto ad s , e posto 



s 



ry 1 *• I 



(*) Brioschi, Sopra una formolo, di Jacobi per la moltìplica s. delle funz. 

 ellitt. , Rendiconti del R. Istituto Lomb. di Scienze e Lettere, adun. 24 No- 

 vembre 1864. Il lavoro fu poi riprodotto in appendice alla traduzione italiana 

 dell'opera del Cayley, An elementari/ treatise on elliptic functions, pp. 365-71. 



(**) Dice precisamente Jacobi: « Supposant x—snu, les quantitos 

 sn(2w), sn(3w), sn(\u\ etc, peuvent ètre exprimees d'une manière assez re- 



marquable, au moyen des différentielles des quantite's Vx 1 ( 1 — » 2 )(l - A 2 »'), 



Km x * \ e | /^ ^j\ 

 i ,K ' ' prises par rapport à x* ». E più sotto: « On aura dea 



a; 3 

 formules analogues si l'on veut employer au lieu de ces diffi'rentielles, celles 

 des quantités 



1 



Yx\\— .t*K1 — k°x 2 ) ' 1/ (1— oc 2 ) il — A: 2 x'-) " 

 (Giom. di Crelle, IV, p. 187). 



