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cupazioni d'ordine affatto diverso m'impedirono dì dilungarmi su 

 esse. Mi sono però fermato alquanto intorno alla questione della 

 rappresentazione della varietà delle coniche di un piano sulla 

 varietà dei complessi lineari di rette dello spazio, affine di ana- 

 lizzarla, per così dire, completamente, e di mostrare che a tale 

 rappresentazione non si deve dare eccessiva importanza né per 

 la geometria delle coniche, né per quella della retta. 



Le varietà fondamentali nello spazio costituito 

 dalle coniche di nn piano. 



\. Le coniche di un piano ~, considerate come inviluppi di 

 rette C^), costituiscono uno spazio lineare a cinque dimensioni S^ , 

 di cui esse sono i irunti. I sistemi lineari semplici (schiere), doppi, 

 tripli, quadrupli di coniche formano le rette S\ , i inani S^ , gli 

 spazi S. e gli S^ di >Sg . 



In una schiera vi sono 3 coniche ridotte a coppie di punti e 

 in un sistema lineare triplo vi sono 4 coniche ridotte a coppie di 

 punti coincidenti, cioè a punti doppi (poiché le coniche del fascio 

 armonico a quel sistema hanno 4 punti comuni). Dunque le co- 

 niche di n degenerate in coppie di punti e quelle degenerate in 

 punti doppi formano in S^ risp. una varietà cubica a 4 dimen- 

 sioni i)/^^ ed una superficie del 4" ordine a due dimensioni F^'^. 

 Se una scliieradi coniche contiene una conica degenerata in un punto 

 doppio, questa conta due volte fra le tre coniche degeneri della 

 schiera: dunque in S-^ ogni retta passante per un punto di jP,'* 

 taglia ivi due volte M^^ , cioè F^'* e superficie doppia per la 

 varietà M^^ (*^*). 



(♦) Quando non dirò espressamente il contrario sottintenderò sempre che 

 le coniche si considerino come inviluppi di rette e non come luoghi di punti. — 

 Con .Sn intenderò uno spazio lineare ad n dimensioni, e con Mf, , F'/^ , ecc., 

 una varietà ad n dimensioni di grado g ; inoltre (a differenza da altri miei 

 lavori) usei'ò qui le parole retta e piano nel senso di spazi lineari ad 1 e 

 2 dimensioni. 



(") Analogamente si vede che nell' S^ costituito dalle quadriche dello 

 spazio ordinario considerate come inviluppi quelle che si riducono a coniche, 

 a coppie di punti ed a punti doppi costituiscono rispettivamente una 3/,*, 

 una Mg'" e una 3/,*; queste ultime due varietà sono rispettivamente doppia 

 e tripla per la prima. Lo studio delle tre varietà che così si presentano nella 

 geometria delle quadriche sarebbe fondamentale per questa e forse ci occu- 

 perà più tardi. 



