SULLA GEOMETRIA DELLE CONICHE DI UN PIANO 3C9 



La superficie F„^ è rappresentata univocamente sui punti 

 (doppi) di 7T, e la varietà 31^ sullo coppie di punti di n. In 

 un sistema lineare quadruplo le coniche degenerate in punti doppi 

 formano, come luogo di questi, una conica: dunque la sezione 

 di F„^ fatta con un S^ qualunque corrisponde ad una conica di n 

 come luogo di punti , e viceversa. Le oo^ curve normali del 

 4" ordine C" determinate su F^ dagli co'* S^^ ovvero questi 

 stessi 8^, corrispondono così alle oo^ coniche di n considerate 

 come luoghi. Siccome poi ogni retta di ;r è incontrata dalle co- 

 niche di questo piano in due punti, così le corrisponderà su F^'* 

 una curva incontrata dagli S^ in due punti , cioè una conica ; 

 sicché alle oo^ rette di n corrispondono su F^^ oo' coniche. E 

 poiché due rette di n hanno comune un punto e per due punti 

 di v: passa una retta, le co^ coniche di JP^* sono tali che due 

 di esse si tagliano in un punto e che per due punti di F^" ne 

 passa una sola determinata. 



2. Una schiera di coniche di tt, la quale non contenga solo 

 3 coppie di punti, ma sia composta tutta di coppie di punti, può 

 essere di due specie diverse. Una 1" specie è costituita dalle 

 coppie di punti di un'involuzione su una retta, una 2^ specie 

 dalle coppie determinate da un punto fisso e da un punto mohile 

 su una retta (non passante in generale per quello) ; una schiera 

 appartenente ad entrambe le specie sarà costituita dalle coppie 

 di punti di un'involuzione parabolica. La retta corrispondente 

 in S^ ad una schiera di coppie di xmnti è tutta contenuta 

 in M^^ e nel 1° caso incontra F^^ in due punti, corrispondenti 

 ai due punti doppi dell'involuzione, nel 3° caso la tocca in un 

 punto, nel 2° non la incontra affatto. 



Ne segue facilmente che i sistemi lineari doppi di coniche 

 di n composti interamente di coppie di punti sono pure di due 

 specie: un sistema di P specie è costituito da tutte le coppie di 

 punti di una retta, un sistema di 2^ specie è costituito da tutte 

 le coppie di punti di n che contengono un punto fisso (*). In 



(*) Nelle mie Ricerche sui fasci di coni quadrici in uno spazio lineare 

 qualunque {kìi\ della R. Accademia delle Scienze di Torino, voi. XIX, 18d4), 

 ho studiato tutte le specie possibili di fasci di quadriche composti totalmente 

 di coni di data specie. Da essa si ha appunto in particolare (V. n° 26) che le 

 sole specie di schiere di coppie di punti sono le due che sopra accennai. 

 Quanto ^i sistemi lineari doppi, perchè un tal sistema sia composto tutto di 



