SULLA GEOMETRIA DELLE CONICHE DI UN PIANO 371 



coppia , di cui un punto essendo fisso si può trascurare consi- 

 derando solo l'altro; allora ai punti di una retta qualunque del 

 piano di 2* specie corrisponderanno in n (una schiera di 2^ specie 

 di coppie di punti, cioè) i punti di una retta, sicché realmente 

 la corrispondenza tra i due piani sarà proiettiva. 



3. La varietà 31^^ contiene dunque due serie di oo' piani 

 (e nessun altro piano, come risulta dal ragionamento fatto); in 

 altri termini essa è determinata dalla superficie jP^" in due modi 

 diversi: come luogo dei piani contenenti le coniche di questa 

 superficie e come luogo dei piani tangenti di questa. Risulta poi 

 immediatamente dalle cose dette che per ogni punto di M^^ pas- 

 sano un piano di l'' specie e due di 2^ specie , che due piani 

 di diversa specie non s'incontrano in generale , ma possono in- 

 contrarsi in una tangente di F^'^ , mentre due piani di 1* specie 

 s'incontrano sempre in un punto di F^'^ e due piani di 2^* specie 

 s'incontrano in un punto qualunque di 31^^ ; ecc. 



Consideriamo un piano tangente fisso n' di F^"^ : ogni suo 

 punto P' ha per imagine in n una coppia di punti, di cui uno 

 fisso corrispondente (come doppio) al punto di contatto di -F/' 

 con n e l'altro mobile P corrispondente al punto di contatto 

 di F^'^ col secondo piano tangente di questa superficie passante 

 per P'. La corrispondenza tra P e P' nei due piani n e n' è proiet- 

 tiva (n" 2). Dunque: i piani tangenti di Fg* incontrano alcuni 

 di essi scelti ad arbitrio in punti corrispondenti di piani proiet- 

 tivi {*). La varietà Mg* si può quindi generare come luogo dei 

 piani congiungenti i punti corrispondenti di tre piani proiettivi. 



A. Poiché due piani aventi un punto comune stanno in un S^, 

 segue che due piani della stessa serie di 31^^ stanno in un S^ , 



(*) Questa proprietà dei piani tangenti di F^'* è analoga a quella delle 

 tangenti di una conica. Ciò corrisponde ad un'analogia tra la nostra rap- 

 presentazione di M/' (luogo di quei piani tangenti) sulle coppie di punti di 

 un piano tt e la rappresentazione di Hesse di un piano sulle coppie di punti 

 di una retta. Come in questa seconda rappresentazione si sceglie sul piano 

 una conica proiettiva alla retta e si fa corrispondere al punto d'interse/.ione 

 di due sue tangenti la coppia dei punti della retta corrispondenti ai punti 

 di contatto di queste, così nella nostra rappresentazione al punto di M^' ia 

 cui si tagliano due piani tangenti di F,* si fa corrispondere la coppia dei 

 punti di TT corrispondenti ai punti di contatto di quei piani, 



