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di 71 bitaiigenti ad una conica fissa (corrispondente a quel punto): 

 le varie proprietà note di questa serie di coniche, cioè dei cir- 

 coli nella geometria piana non-euclidea , si otterrebbero con 

 notevole facilità ed eleganza dalla considerazione di quel cono {*). 

 — Se poi in particolare il punto da cui si proietta FJ* sta 

 su M^, il cono che cosi si ottiene sarà l'imagine di una serie di 

 coniche passanti per due punti fissi, o più brevemente dei circoli 

 di un piano euclideo. Quel cono acquista in tal caso un piano 

 doppio: il piano di 1" specie di -M^°, il quale passa pel vertice 

 del cono ; una sezione fatta su esso con un S^ sarà perciò una 

 superficie di 4" ordine dotata di una retta doppia (e contenente 

 quindi oJ' coniche) ed inoltre (V. n° 9) base di un fascio di coni 

 quadrici di queir >S'^, Tale sezione è dunque una superficie che 

 io già studiai altrove da quest'ultimo punto di vista e da cui 

 dedussi con proiezione le proprietà della superficie romana di 

 Steiner e de' suoi casi particolari (^'^). Come lo studio di quel 

 cono coincide collo studio della varietà dei cerchi di un piano, 

 cosi lo studio di quella superficie, che ne è una sezione, coin- 

 ciderà collo studio del sistema doppio dei cerchi armonici, come 

 inviluppi, ad una conica fissa. 



Coniche armoniche e loro imagini. 



7. Una conica considerata come inviluppo ed un'altra con- 

 siderata come luogo sono armoniche quando nella schiera di 



(*) Mi limiterò qui ad un'applicazione semplicissima di questo concetto. 

 Siano K, (3 due coniche di n aventi doppio contatto con una terza y, e siano 

 risp. A, B e Ci punti che rappresentano le tre coniche in S^ : le rette A C, 

 BC taglieranno F^* in due punti A', B', e la retta che congiunge questi starà 

 su Mf^ e sarà incontrata dalla retta AZ? in uno C dei H punti che questa 

 ha comuni con Mg^^. Considerando la schiera (di coppie di punti e di 1* specie - 

 V. n° 2), che ha per imagine la retta A' B' C avremo dunque che i due poli 

 di contatto di v., ^ con -/ sono divisi armonicamente da una delle 3 coppie 

 di punti appartenenti alla schiera a ^ : teorema noto (specialmente sotto la 

 forma correlativa) sulle coniche bitangenti ad una conica fissa. 



(**) V. Ètude des différentes surfaces du 4^ ordre d. conique doublé ou cus- 

 pidale (generale ou décomposéej considérées comme des projections de Vin- 

 tersection de deux variétés quadratiques de V espace à quatre dimensions (Math. 

 Annalen , XXIV, pag. 313-144 . — 11 sig. Veronese nella Memoria citata 

 considerò invece la superficie di Steiner come proiezione di F,* direttamente 

 sullo spazio ordinario , sicché lui ed io giungemmo nello stesso tempo con 

 una curiosa coincidenza a due nuovi modi (non diversi sostanzialmente; di 

 studiare quell'intei'essante superficie. 



