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1" specie. La 31^ contiene due distinti sistemi di oo'" piani (*) ; 

 ma quegli oc* piani della M^'^ tagliandosi a due a due in un 

 punto solo (n° 3) apparterranno ad uno stesso sistema. 



I due sistemi di oo^ piani della M^ polare di P rispetto 

 ad M^ si comportano dunque in modo diverso rispetto ad F,^ . 

 Per vedere meglio ciò consideriamo un 8^ passante per P e per 

 uno di quei piani: taglierà ancora 31^ in un piano di sistema 

 diverso da quello. Quell'/S'. taglia poi 31^ in una superficie cu- 

 bica ordinaria a 4 punti doppi nei punti d' intersezione dell'US', 

 con FJ^ , ed il punto P gode rispetto a questa superficie cubica 

 della proprietà che la sua quadrica polare rispetto ad essa si 

 scinde nei due piani considerati. Ora è facile scorgere che, per 

 ogni superficie cubica a 4 punti doppi dello spazio ordinario, dei 

 10 punti, le cui quadriche polari si scindono in coppie di piani 

 (punti doppi dell'Hessiana) , solo 4 non stanno sulla superficie e 

 la coppia polare di ciascuno di essi si compone di un piano pas- 

 sante per 3 punti doppi e di un piano passante solo pel quarto. 

 Dunque : Nella M^ polare di un punto qualunque rispetto 

 ad M^ (punto che non stia su questa varietà) i piani del- 

 l' un sistema secano in un punto la F^^ e quelli delV altro 

 sistema la secano in tre punti. 



Tra i piani della 31^ ve ne sono però, come vedemmo, oo* 

 formanti una 31^ ' ' e secanti F^ secondo coniche e che appar- 

 tengono ad uno stesso sistema. Tra quelli dell'altro sistema ve 

 ne sono di quelli che tagliano uno qualunque dei primi secondo 

 una retta e quindi la sua conica in due punti e che perciò 

 contengono 2 e quindi 3 punti di F^ . Dunque gli co* piani 

 della 31^ secanti la F^ secondo coniche appartengono allo stesso 

 sistema che i piani secanti in un sol punto. 



Nel piano n questi risultati s'interpretano senza difficoltà. 

 Così avremo che in un sistema lineare quadruplo di coniche- 

 luoghi , vale a dire nel sistema delle coniche-luoghi armoniche 

 ad una conica-inviluppo fissa , esistono due serie di oo^ sistemi 

 lineari dojopi di coniche-inviluppi : nei sistemi dell'una serie esiste 

 un punto doppio e quindi la Jacobiana si scinde in un punto ed 



(*) V. anche pel seguito la mia Memoria: Studio sulle quadriclie in uno 

 spazio lineare ad un numero qualunque di dimensioni (Memorie della R. Acc. 

 delle Scienze di Torino, serie II, tomo XXXVl). 



