378 CORRADO SEGRE 



air S,^ che tocca M^^ lungo il piano di P specie nominato. La 

 base di quel fascio di coni sarà evidentemente il cono a 3 di- 

 mensioni die proietta i'Y da H , sicché noi vediamo che una 

 sezione di questo cono fatta con un S^ si può considerare come 

 la base di un fascio di coni quadrici a 3 dimensioni dell' >S^ i 

 quali siano tutti tangenti ad uno stesso S. ed abbiano i vertici 

 su una retta ; l'asserzione fatta alla fine del n° 6 è dunque 

 provata. 



Gruppi di trasformazioni. 



\ . Una trasformazione proiettiva del piano t: in se stesso 

 muta le coniche in coniche, i sistemi lineari di coniche-inviluppi 

 in sistemi lineari e le coniche degeneri in coniche degeneri. Dunque 

 le corrisponde una trasformazione proiettiva di S^ in cui F^ non 

 muta. Yiceversa ogni tale trasformazione di S^ corrisponde evi- 

 dentemente ad una trasformazione proiettiva di n ; sicché : 



La superfìcie 'E^ si trasforma in se stessa con oo* tras- 

 formazioni proiettive di S5 {*). Lo, geometria proiettiva del 

 piano coincide colla geometria proiettiva di Sg nella quale però 

 si fìssi la superfìcie F^*, cioè si prenda per « gruppo fonda- 

 mentale » {**) il gruppo delle suddette 00* omografìe che mu- 

 tano questo, superfìcie in se stessa. 



Possiamo poi aggiungere (V. anche n. 6) : La geometria me- 

 trica generale del piano coincide colla geometria proiettiva di Sj. 

 nella quale però si fìssi Fg* ed un punto, il quale si prenderà 

 su M^' se quella geometria metrica diventa euclidea. 



i 1 . Una correlazione in ;: determina una corrispondenza li- 

 neare tra le coniche-inviluppi e le coniche-luoghi e tra punti e 

 rette di - e quindi determina in ;S'„ una corrispondenza reciproca 

 ( tra i punti e gli >S'^ ) , nella quale F^ e ^^ si corrispondono 

 ( e così pure M^ e M^* ) ; questa corrispondenza non costituisce 

 un sistema nullo , cioè non sta ogni punto sull' S^ corrispon- 



(♦) In ognuna di queste trasformazioni tre punti doppi sono su F,* e gli 

 altri tre su M^^ nelle intersezioni mutue dei piani tangenti in quelli a F/. 



(♦*) V. Klein, Vergleichende Betrachtungen iiber neuere geometrische For- 

 schungen. Erlangen, 1872. 



