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(cioè SÌ che le serie lineari dei primi e dei secondi enti si cor- 

 rispondano pure) ed il modo più generale e più diretto per 

 ottenere le proprietà di questa corrispondenza consiste nel consi- 

 derare uno stesso >Sg sia come lo spazio costituito da quei com- 

 plessi, sia come lo spazio costituito da quelle coniche, sicché ogni 

 punto di xS'j. rappresenti sia un complesso di 1 , sia una conica 

 di - . Allora in S^ vi saranno da considerare le F^'* e Ji^^ rap- 

 presentanti le coniche degeneri di ~ e la M^^ rappresentante la 

 varietà dei complessi lineari speciali : esse rappresenteranno anche 

 risp. le varietà dei complessi e delle coniche che corrispondono 

 alle coniche degeneri ed ai complessi speciali. Quindi le proprietà 

 di quegli enti di S. si tradurranno in altrettante proprietà della 

 corrispondenza {*). 



{*] Il metodo qui tenuto è sempre da usarsi quando si vogliano far cor- 

 rispondere linearmente tra loro due varietà lineari ad ugual numero di di- 

 mensioni di enti geomatrici, come punti, linee, superficie, ecc. In esso si 

 applica il fatto evidente che tutte quelle proprietà di una varietà lineare che 

 dipendono unicamente dalla sua linearità e dalla sua estensione (Mannig- 

 faltiqkeit) sussistono pure per tutte le vaiietà lineari aventi la stessa estensione, 

 qualunque ne siano gli elementi. Questo fatto mette in luce l'importanza della 

 geometria proiettiva ad n dimensioni, quando all'elemento o punto dello 

 spazio in essa considerato non si attribuisca alcun carattere speciale: da 

 ciascun risultato, a cui essa conduce, si potrà poi, fissando che quel punto 

 sia l'elemento di diverse varietà, ottenere più proposizioni diversissime in 

 apparenza fra di loro, in questo lavoro già se ne vede un esempio ; mi sia 

 permesso citarne un altro nel legame tra le geometrie metriche dei com- 

 plessi lineari e delle sfere che io mostrai altrove (Atti della R. Acc. delle 

 scienze di Torino, voi. XIX\ 



Il signor Veronese nelle sue importanti ricerche di geometria ad n di- 

 mensioni si pone da un punto di vista diverso, in quanto che per lui « l'ele- 

 « mento generatore (di uno spazio) non è già un elemento di natura qualsiasi, 

 « ma il punto tale quale ce lo immaginiamo nel nostro spazio » (Mem. cit. , 

 nota alla fine dell'introduzione}. Con ciò mi pare che, mentre scema quella 

 gran fecondità della geometria a più dimensioni, a cui ho accennato, si va 

 incontro all'obbiezione che il punto, quale si concepisce nel nostro spazio e 

 appunto pel modo con cui qui lo concepiamo, non è più concepibile fuori di 

 esso, ove potrebbe anche non esistere. ]Sè sembra che, lasciando indetermi- 

 nata la natura dell'elemento di uno spazio ad n dimensioni si venga a 

 perdere (come pensa quello scienziato) la facoltà di rappresentare le figure e co- 

 struzioni di quello mediante figure e costruzioni dello spazio ordinario; anzi il 

 numero delle rappresentazioni viene così ad accrescersi immensamente, poten- 

 dosi prendere nello spazio ordinario come rappresentanti degli elementi di 

 quelle figure e costruzioni non più soltanto i punti, ma infinite altre specie ivi 

 esistenti di enti geometrici. Credo perciò preferibile non fissare la natura del- 

 l'elemento dello spazio che si considera se non quando si vuol scendere alle 

 applicazioni. 



