SULLA GEOMETRIA DELLE CONICHE DI UN PIANO 381 



13. Nella corrispondenza lineare più generale la M^ avrà 

 una posizione qualun<j[ue rispetto alle F^^ e M^ ; sicché con- 

 chiuderemo : 



Nella corrispondenza lineare generale tra le coniche di n 

 ed i complessi lineari di 2 alle rette di 1 , come complessi 

 speciali, corrispondono in n le coniche (inviluppi) di un si- 

 stema quadruplo quadratico ; alle coniche degenerate in copipie 

 di punti od in punti doppi corrispondono risp. i complessi 

 lineari di una varietà cubica 4 volte infinita e di una varietà 

 quartica 2 volte infinita (le proprietà di queste varietà sono 

 contenute nei numeri prec). Alle coniche di quel sistema qua- 

 druplo quadratico degenerate in coppie di punti o in punti 

 doppi (punti doppi i quali formano una curva di 4" ordine) 

 corrispondono risp. le rette di un certo complesso cubico (con- 

 tenente due serie di oo^ rigate quadriche, ecc.) e quelle di una 

 certa rigata di 8° grado composta di rette doppie di quel 

 complesso, ecc., ecc. 



Kisulta pure dalle cose precedenti che alle trasformazioni 

 proiettive (e reciproche) di 1 (cioè omografie di S^. le quali mutano 

 in se la il/^^ (*) ) corrispondono quelle trasformazioni lineari 

 delle coniche di rr che mutano in sé il sistema quadruplo qua- 

 dratico considerato , trasformazioni che non sono in generale 

 proiettive per n ; e così pure che alle trasformazioni proiettive 

 di 7T (cioè omografie di S^ le quali mutano in sé la F^^) corri- 

 spondono quelle trasformazioni lineari dei complessi lineari di 1 

 che mutano in sé la varietà quartica 2 volte infinita (o la varietà 

 cubica 4 volta infinita ) considerata, e che non sono in generale 

 trasformazioni proiettive di 1 . Quindi è chiaro che con questo 

 metodo non si ha una corrispondenza tra le geometrie proiettive 

 del piano n e dello spazio 2£ (^*). 



14. Possiamo ottenere tra le due varietà di coniche e di 

 complessi lineari delle corrispondenze più particolari scegliendo in 

 modo particolare la posizione della 31^- rispetto alle F^^ e 31^^. 



(*) V. Klein, Ueber eine geometrische Repràsentation der Resolventen 

 algebraischer Gleichungen (Math. Ann., IV, p. 356). 



(♦♦) Quest'osservazione fu già fatta dal Klein, a pag. 19 delle Vergleich. 

 Betrachtunijen, 



