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Vi sarebbero certe posizioni particolari che condurrebbero a cor- 

 rispondenze non prive d'interesse, ma il caso più notevole è quello 

 in cui la M^^ è la polare quadratica rispetto ad M^ di un punto 

 che non vi sia contenuto {*). 



In tal caso i due sistemi di oo^ piani contenuti nella M^ , 

 cioè per Z i piani rigati e le stelle di rette, si comportano in 

 modo diverso rispetto a F^ (n, 7), in quanto che gli uni ne 

 contengono 3 elementi e gli altri uno solo. La F^ giacendo 

 su 31^ darà in 2 un sistema di rette, di cui dunque ogni piano 

 rigato, ad esempio, conterrà 3 rette e ogni stella 1 retta sola 

 (oppure viceversa). Vi sono però oo* stelle (V. alla fine del n. 7) 

 che contengono invece un cono quadrico di rette del sistema; 

 tali stelle formano (l'intersezione della ilf^^ con M^^ , cioè) un 

 particolare complesso di 3" grado. Da tutto ciò si conchiude che 

 quel sistema di rette si compone delle corde di una cubica sghemba 

 di 1 e quel complesso delle rette unisecanti di questa cubica. 

 Tale curva costituisce dunque l'ente fondamentale per I . Quanto 

 al piano n , in esso sarà fondamentale la conica armonica, come 

 inviluppo, alla serie delle coniche-luoghi rappresentata da M^^ . 



Dunque : 



Si può rappresentare i complessi lineari di rette dello 

 spazio 2 sulle coniche di un piano n in modo che ai complessi 

 lineari speciali, cioè alle rette di 2 , corrispondano le coniche 

 armoniche, come luoghi, ad una conica fissa C^ di n . Allora 

 vi sarà in 1 una cubica sghemba C^ le cui corde corrispon- 

 deranno ai punti doppi di n considerati come coniche degeneri; 

 le rette che incontrano questa cubica in un punto corrispondono 

 alle copjpie di punti congiunte da una tangente alla conica C^. 



Da quest'ultimo fatto, conseguenza immediata delle cose viste, 

 segue che la corrispondenza tra i complessi lineari di 2 e le co- 

 niche di n si può intendere definita nel seguente modo. Una 

 conica C^ di rr ed una cubica C® di 2 sono punteggiate pro- 



(♦) Escludo il caso in cui il punto sia contenuto in M,^ perchè allora 

 la M^^ polare degenera in un cono (n" 9) e quindi non potrebbe più rappre- 

 sentare la quadrica di rette. In altri termini, una corrispondenza lineare tra 

 le rette dello spazio e le iperboli equilatere di un piano (considerate come 

 inviluppi) non è possibile, perchè di queste due varietà quadratiche l'una ò 

 generale, mentre l'altra è degenere. 



