SULLA GEOMETRIA DELLE CONICHE DI UN PIANO 383 



iettivamente. Al punto d'incontro delle tangenti in due ])unti 

 arbitrari a C^ considerato come conica degenere corrisponde la 

 corda di C" congiungente i due punti di questa che corrispondono 

 a quelli. Allora si scorge senza difficoltà che 6 determinata in 

 modo unico quella retta appoggiata su C^ che corrisponde ad 

 una coppia di punti (come conica degenere) data ad arbitrio su 

 una tangente a C^ ed in generale è perfettamente determinato 

 il complesso lineare che corrisponde ad una conica qualunque 

 di n ( perocché sarà determinata la rigata quartica di corde 

 di C" in esso contenuta, e questa rigata individua il complesso 

 lineare che la contiene) (^). 



45. Ricordando i risultati del n. 10 si ha: la geometria 

 proiettiva delle coniche di un piano coincide colla geometria 

 dei complessi lineari in cui è fondamentale il gruppo delle 

 trasformazioni lineari di questi le quali mutano in se stessa 

 una cubica gobba (cioè la serie di complessi lineari speciali 

 costituita dalle corde della cubica). Ma questo gruppo non è 

 quello delle trasformazioni proiettive che mutano in sé la cubica, 

 bensì un gruppo più vasto in cui le rette non si mutano gene- 

 ralmente in rette. Così pure: la geometria proiettiva dei complessi 

 lineari coincide colla geometria delle coniche di un piano in 

 cui e fondamentale il gruppo delle trasformazioni lineari di 

 queste le quali mutano in se stessa la serie delle coniche-luoghi 

 armoniche ad una stessa conica ; ma questo gruppo non si com- 

 pone tutto di trasformazioni proiettive, cioè di trasformazioni che 

 mutino le coniche degeneri in coniche degeneri. Volendo solo 

 considerare trasformazioni proiettive nel piano e nello spazio os- 



(*) Se nella rappresentazione considerata si sostituiscono alle coniche- 

 inviluppi di TI le coniche polari di C- rispetto ad esse si ottiene una nuova 

 rappresentazione, nella quale ai complessi speciali o rette di 2 corrispondono 

 le coniche circoscritte a triangoli circoscritti a C, e se ne hanno immedia- 

 tamente le principali proprietà. La rappresentazione così ottenuta dello spazio 

 rigato su quel sistema di coniche fu trovata dal sig. Cremona in una lettera 

 al sig. Beltrami (Giornale di matematiche, voi. X, 1872) e più tardi venne 

 studiata più diffusamente (insieme con quella da noi considerata) dal signor 

 AscHiERi, che pensò di prenderla come base di uno sviluppo metodico della 

 geometria della retta (V. Sulla rappresentazione dello spazio rigato con un 

 sistema di coniche sul piano, Rendiconti del R. Ist. Lombardo 1879, serie II, 

 voi. 12, pag. 265 e 341. — Fondamenti per una geometria dello spazio com- 

 posto di rette, Memorie del R. Ist. Lombardo 1883, voi. XV, serie III, pag. 75). 



