392 GINO LORIA 



Facciamo ora l'ipotesi che la sfera x varii, ma che gli an- 

 goli sotto cui essa seca le sfere fisse y ^'' siano costanti ; sarà 

 allora costante il secondo membro di quest'ultima equazione, ep- 

 però l'angolo {x^ s) non varierà al muoversi di x. Ora, in virtù 

 delle relazioni (1), -s" è una sfera qualunque del sistema lineare 

 (a una, due o tre dimensioni secondochè ad m si attribuisce uno 

 de' valori 2, 3, 4) determinato dalle sfere y^''\ dunque è lecito 

 concludere il seguente teorema : 



Tutte le sfere die secano due, tre o quattro date sfere 

 sotto angoli costanti, secheranno sotto angoìo costante aìicìie 

 tina quaìunqiie sfera appartenente al fascio, alla rete o al 

 complesso lineare da esse risii, determinato {*). 



V. 



Siano a; ^'\ r/;'^^ due sfere date; tutte le sfere chele incon- 

 trano sotto angoli uguali o supplementari soddisfano Tuna o 

 l'altra delle equazioni compendiate nella seguente 



Pr (.) -^ (.) 



X X , X X 



K-f^*X-^ (I) (l) |/-^XX-^ (l) (2) 



XX f XX 



che equivale a 



/■• \ XX XX 



K^ (' (') 1/^ {A w 



XX f X X 



in conseguenza esse costituiscono due complessi lineari, le cui 

 sfere ortogonali X^'' ^^, 9G^'' ^^ sono determinate dalle equazioni; 



(2) x/''') = ^Ì^= _ •^' , 



J X X jI X X 



(♦) Cfr. Darboux, 1. e, p. 380-381. 



