XT'OVl STI'TÌI ST'I,LA GEOMETRIA DELLA SFEKA :?93 



si dimostra facilmente che il centro della prima è il centro di 

 similitudine esterno delle due sfere date e che il centro della 

 seconda ne è il centro di similitudine interno; che il quadrato 

 del raggio della prima è ciò che Affolter chiamò potenza comune 

 esterna delle due sfere e che il quadrato del raggio della se- 

 conda ne è la potenza comune interna (*). 



Da ciò che ora si disse, scatui'isce che : Per tre imnti dati 

 ad arbitrio x)assano in generale due e due soie sfere incon- 

 tranti due sfere date sotto angoli ugnali o supplementari : ogni 

 punto è centro di due tali sfere. 



Dalle (2) (3) risulta ancora che: Affinchè tutte le sfere che 

 secano due date sotto angoli uguali o supplementari passino 

 per un punto o abbiano i loro centri in un x^iano, è neces- 

 sario e sufficiente che esse si tocchino o abbiano raggi uguali. 



Consideriamo ora invece tre sfere x^^\ x^''\ a;^^\ e studiamo la 

 distribuzione delle sfere che le secano sotto angoli uguali sup- 

 plementari. Si vede subito che queste formano quattro congruenze 

 lineari aventi per equazioni complessive : 



(4) 



±R (.) ±R (.) ±B (3) 



xju XX- 



/^ (') (■) 1/-^ (^) (^) 1/-^ 0) (3) 



' XX f X X , f X •«■■ 



Per due punti dati ad arbitrio passano in generale cpiattro 

 e quattro sole sfere incontranti tre sfere date sotto angoli uguali 

 supplementari. 



I sei complessi lineari di sfere che si ottengono considerando 

 a coppie i tre membri dell'equazione (4) hanno sfere ortogonali 

 determinate dalle equazioni : 



^ (p) -r. (9) 



(5) X/^'-^) ' 



l/-^ (P) iP) ì/-^ io) (7) 



f X X f X X 



r (p) ^- (-7) 



(6) 9S>>'i') = , ' + 



1/-^ (P) (P) 1/-^ (7) io) 



f X X f X X 



(♦) Dalle forinole (VI), che troveremo nel § VII, risulta, che una qualunque 

 di queste due sfere determina una corrispondenza per raggi vettori reciproci 

 capace di mutare ognuna delle due sfere date nell'altra. 



