394 GINO LORIA 



ove p,q h una combinazione binaria dei numeri 1, 2, 3; siccome 

 si ha 



_ gg .(7, '•) + x^'-'P) + gs^"- '') = () , 



(ove p, q, r, è una permutazione circolare di 1, 2, 3), così si 

 vede che quelle sei sfere a tre a tre appartengono a quattro fasci. 

 Introducendo la considerazione di una quarta sfera a:^'''\ si 

 vedrà che le sfere secanti ,x'^'\ ,x-^^', x^^^, .r^'*' sotto angoli uguali 

 supplementari formano otto fasci le cui equazioni possono 

 compendiarsi così : 



(7) ... 



R (.) ±11 (.) ±B (3) ±B (0 



l/^ (.) (.) \/^ (^) (^) l/-^ (3) (3) \/R U) 



'.XX r X x f X X IX:, 



(4) 



Per un punto dato ad arbitrio passano in generale otto 

 e otto sole sfere incontranti quattro sfere date sotto angoli 

 uguali supplementari, 



I dodici complessi lineari che si ottengono considerando a 

 coppie i quattro membri dell'equazione (7) hanno sfere ortogonali 

 che possono ritenersi determinate dalle equazioni (6) , purché in 

 esse s' intenda essere p , q una combinazione binaria dei nu- 

 meri 1, 2, 3, 4; ora si ha: 



a;/'- ^) + %P' "^ = a;/-' ^) + 9&/" ^) = gg/-- '•) + 9?/^' '^ 



(essendo ^), q, r, s una permutazione di 1,2, 3, 4); dunque quelle 

 dodici sfere ortogonali a quattro a quattro appartengono a se- 

 dici congruente lineari. 



Considerando finalmente cinque sfere qualunque si conclude: 

 Vi sono sedici sfere che secano cinqtie sfere date ad ar- 

 bitrio sotto angoli uguali o supplementari. 



