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GINO LORIA 



la (IV) si muterà allora in un'equazione che si riduce facil- 

 mente alla forma se°;uente 



(V) 



1 L . 1 



= 0, 



o all'altra equivalente 



(V) 



= 



Notiamo che la relazione (V), la quale lega gl'invarianti simul- 

 tanei delle sfere di due gruppi composti ciascuno di cinque in- 

 dividui, comprende come caso particolare la relazione esistente 

 fra gl'invarianti simultanei di cinque sfere qualisivogliano ; per 

 conseguenza, questa resta dimostrata in modo indipendente dal- 

 l'equazione che lega le mutue distanze di cinque punti qualunque 

 dello spazio. ìse si tema di cadere in una petizione di principio, 

 che il metodo ora indicato poggia unicamente sulle equazioni (2), 

 (3): ora, le (2) si ottengono applicando le formole determinatrici 

 della sfera ortogonale di un complesso lineare (Mem. cit., n. 19), 

 mentre la (3) non è che l'espressione analitica del fatto che il 

 piano airinfinito , considerato nello spazio di sfere , si deve ritenere 

 come appartenente alla quàdrica de' punti sfere (precisamente 

 come in un sistema di quàdriche passanti per una conica fissa 

 il piano della conica compare, contato due volte, fra i coni del 

 sistema, nonché come parte di quàdrica degenerata in due piani). 



Mi parve importante di rilevare questo fatto, perchè cos'i le 

 mie Piicerche risultano indipendenti anche dalla relazione fra 

 cinque punti dello spazio scoperta da Cayley, a cui io avevo 

 creduto necessario ricorrere (n. 8); anzi, quest'ultima resta dimo- 

 strata in modo diverso dall' ordinario . giacché essa si ottiene 



