NUOVI STUDI SULLA CEOMETKLV DELLA SFERA -103 



raggio della sfera (sfera direttrice delia trasformazione) avente 

 per equazione 



A {x'^-if + ^*) + 2 Bx + 2 C^ + 2 Dz + E = . 

 Ma l'equazione della sfera trasformata 



} a {B'+ C'+ B') -2A{Bh+ Ce + Bd) + eA'\ ^^^ j^ y' -{- z^) + 

 + 2\B\aE-\-eA-{Bh+Cc-\-Bd)\-hAE\x + 

 + 2^^C[aE + eA-{Bh + Cc + Bd)\-cAE\y + 

 + 2 ^^B\aE-^eA-{B.h-irCc-\-Bd)\-dAE\ z + 

 + } aE'- 2E{Bh-\-Cc + Bd) + e{B'-j-C'-h X>^) j = , 



non è abbastanza semplice per poter giungere col suo aiuto con 

 facilità e speditezza alle formole che si cercano. 



Queste si ottengono invece direttamente e senza difficolttà me- 

 diante le seguenti considerazioni. 



Sia <S' la sfera direttrice d'una trasformazione per raggi vettori 

 reciproci. In virtù di essa si trasformano in se stesse la sfera S 

 e tutte quelle del complesso lineare Cl^ da essa determinato. 

 Di più quella trasformazione è involutoria e muta in sé stessa 

 la quàdrica dei punti. Dunque potremo dire che mw« trasfor- 

 mazione per raggi vettori reciproci, considerata nello spazio 

 di sfere, non è che un omologia involutoria che trasforma in 

 sé stessa la quàdrica dei punti. 



Ciò posto, un'omologia che trasforma in se stessa la sfera ^S* 

 di coordinate Y^, nonché ogni sfera del complesso lineare CL di cui 

 S è sostegno , é evidentemente definita da equazioni del tipo 

 seguente : 



p xì= l'i By^. — l-Xi (/= 1, 2, . . . , 5) , 



ove |0 é un fattore di proporzionalità e /.• é una costante ; se , 

 di più, l'omologia è involutoria, si trova facilmente che la co- 

 stante k deve avere il valore 



