404 GINO LORIA 



donde si conclude clie ìe formo! e di trasformazione cercate 



sono : 



(VI) p X-= Y^ By^— - RyyXf {l = \ , . . . , 5). 



Da queste segue la relazione 

 (1) p'-RxV = T Ih-yl^xx ; 



la quale dice che la detta trasformazione muta in sé stesso il 

 complesso dei punti-sfere ; più generalmente dalle (VI) scaturisce 

 l'equazione 



(2) p^ Rjc'y' ~ T -^rr ^xy > 



la quale esprime che due sfere ortogonali si trasformano in due 

 sfere pure ortogonali ; finalmente dalle (1) (2) risulta 



(3) cos ( X , y ) = — ===^ = ""^ : = cos (x, y) , 



\ -^^X' X' ■t^'f yl \ By,^JXyy. 



e questa equazione mostra che l'angolo di due sfere qualunque 

 è uguale a quello delle loro trasformate ('^). 



I ragionamenti ora fatti mostrano che la sfera Y non deve 

 ridursi a un punto sfera ; ma nulla vieta di supporla ridotta a 

 un piano sfera; quando ciò accada, quando cioè sia 



I Y, = , 

 sarà, a cagione delle (VI), 



plX-=— ^ Ryy 1 Xi , 



(*) Questa proprietà può generalizzarsi nella seguente: 

 Data, in uno spazio lineare ad n dimensioni^ una quàdrica come assoluto 

 d'una determinazione m.etrica, si consideri un'omologia involutoria che (ras- 

 formi questa quàdrica in se stessa; due punti qualunque avranno fra loro 

 la stessa distanza dei loro trasformati mediante quell'omologia. 



