NUOVI STUDI tiULLA GEOMETRIA DELLA SFERA 405 



quindi in (luesto caso la trasformazione muterà non solo i punti 

 in punti, ma anche i piani in piani; essa sarà una frasfonna- 

 zione per simmetria rispetto ad un 2}iano. 



Applicando a una figura successivamente le due trasforma- 

 zioni per raggi vettori reciproci di cui Y o Z sono le sfere di- 

 rettrici, si otterià un'altra figura , i cui elementi saranno deter- 

 minati dalle relazioni 



f ) 



+ - ByyBzzXi (/^l, . . . , 5) , 



(che risultano ai)plicando due volte le equazioni (VI)). Esse di- 

 mostrano che, affinchè l'ordine in cui si applicano le due trasfor- 

 mazioni non abbia influenza alcuna sul risultato, è necessario e 

 sutìiciente che sia 



By,= , 



giacché in questo caso e solo in questo le (4) sono simmetriche 

 in Y e Z. Dunque : Affinchè due trasformazioni per raggi vet- 

 tori reciproci producano lo stesso risiiìtato qualunque sia l'or- 

 dine in cui vengono applicate, è necessario e sufficiente che le 

 corrispondenti sfere direttrici siano fra loro ortogonali. 



Le equazioni (VI) assumono una forma notevole ove si sup- 

 pongano le cinque sfere fondamentali a due a due ortogonali e 

 che la sfera Y coincida coWi"'" di esse ; si ha allora : 



(VI') pXi = — Xi, p%'=% quando Jc—\—i . 



Da queste si traggono varie conseguenze. 



Anzitutto è chiaro che applicando a una figura successivamente 

 le cinque trasformazioni che si ottengono supponendo nelle (VI') 

 V= 1, 2,. . , 5 si ricade nella figura primitiva. Donde il teorema: 



Una figura non muta se assoggettata a cinque trasforma- 

 zioni per raggi vettori reciproci delle quali le sfere direttrici 

 siano a due a due ortogonali. 



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