406 GINO LOEIA - NUOVI STUDI SULLA GEOMETRIA DELLA SFERA 



0, in altre parole: 



Quattro trasformazioni per raggi vettori reciproci, le cui 

 sfere direttrici siano a due a due ortogonali , producono il 

 medesimo effetto della trasformazione della stessa specie avente 

 per direttrice la sfera ortogonale a quelle quattro. 



Una qualunque delle cinque trasformazioni (VI') muta in se 

 stesso non solo il complesso dei punti-sfere , ma anche il com- 

 plesso quadi'atico 



2a,.ii;,*z= , 



opperò anclie la ciclide comune ad esso e alla quàdrica dei punti. 

 Inoltre, quelle trasformazioni sono in generale le uniche godenti 

 di questa proprietà; infatti, da una parte, è facile mostrare che 

 affinchè una sfera sia direttrice d"una trasformazione per raggi 

 vettori reciproci capace di mutare in se stesso un complesso qua- 

 dratico bisogna e basta ch'essa sia ortogonale al proprio complesso 

 polare rispetto a questo complesso quadratico, e, d'altra parte, 

 vi sono in generale soltanto cinque sfere che godano di questa 

 proprietà (Mem. cit., n. 42). Dunque: 



Vi sono in generale cinque sole trasformazioni per raggi 

 vettori reciproci, aventi la proprietà di trasformare una ciclide 

 in sé stessa. 



Torino, 5 febbraio 1885. 



