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SULLE PROPRIETÀ INVARIANTIVE ECC. 271 
Ricordando ora l’espressione simbolica di A si ha ovviamente : 
» 
mm! VA=(an. VEVIR 9 . XX), 
d’onde sì conclude che l’espressione rappresentata simbolicamente 
da (aa. ..l1) differisce per un fattore numerico dalla radice 
quadrata di A. 
$2. 
Dalla formula precedente si può dedurre facilmente la legge 
di formazione della radice quadrata di A. 
Infatti si ha: 
(aa... Il) =Y (1) -100,,0,:.-8; 
aB.-ip 
I % 
ove I(x&...gp) indica il numero delle inversioni presentate 
dalla permutazione «ff... degli indici 1, 2...2m e la 
somma DI va estesa a tutte queste permutazioni. Si osservi ora 
dirà 
che nella somma di uno stesso termine è ripetuto (m!2”) volte, 
af...) 
sicchè sarà: 
(Ga... 10')=m12" 9) (—1)/0-210 9,0, 1/0, 
e qui la somma va estesa a tutte e sole le partizioni distinte 
degli indici 1.2...2% in m coppie. 
Di qui risulta che >. (— 1)5P-20 O... O è precisa- 
mente quell’espressione, il cui quadrato è eguale a A e si ha la 
regola seguente per formare tale espressione. , 
Si formino tutte le partizioni distinte degli indici 1.2 
...2m, in m coppie; corrispondentemente a queste partizioni 
si considerino tutti quei prodotti di m elementi del determi 
mante gobbo, in ciascuno dei quali le coppie d’indici sono le 
m coppie di una stessa partizione, e si attribuisca a ciascun 
prodotto il segno + 0 — secondochè i 2m indici, letti nel- 
l’ordine in cui vi figurano, presentano un numero pari 0 un 
