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segno di b—a; detto y, un valore qualunque assunto da 
quando x varia nell’intervallo %,, si faccia la somma 
u=h,yk+h,Y,t+ + An Yn=Zhy,; . 
Se, col diminuire indefinitamente di tutte le %, « tende 
verso um limite .S (*), la funzione dicesi 7ntegrabile nell’ inter- 
vallo ab, e questo limite chiamasi il valore dell’integrale 
da fl) da» 
(4 
VA) 
DD 
Siano p, e g, i limiti superiore ed inferiore di y,, cioè dei 
valori assunti da y nell’intervallo %,; pongasi 
Php, ig = hg 
Siccome A>p,>y,>49,>B, moltiplicando per 7, e sommando 
si ha che le quantità 
A(b—-a), P,u, Q@, B(b—a) 
sono ordinate secondo la loro grandezza (decrescenti se le % sono 
>0, ossia 4 <d, crescenti se a>bd); P e € sono i limiti su- 
periore ed inferiore dei valori che può assumere « corrispondenti 
a quella divisione di db —a. 
Variando la divisione di ab, variano P e @, in modo però 
che se ad ogni valore di P è maggiore d’ogni valore di @. 
Infatti siano %, %,... AR,, la ly... h,y, due divisioni di ab; 
vin sera 
P=Xh,.p.,, Q=YZh,q,; si immagini la divisione formata 
Pe" sE 
dalla sovrapposizione delle due precedenti, e sia %, %.... fm. 
ogni intervallo 7, sarà contenuto in un 7, ed in un his ed 
ogni intervallo %, ed ogni %' è eguale ad uno, o alla somma 
di più intervalli %; onde sostituendo: | 
PO 
em omni 
U o Li 
P=Zk,P, Q=Ik4, > 
(Sp | 1 
a= 
(*) Gol che si intende, che, fissata una quantità piccola quanto si vuole e, 
se ne possa trovare un’altra tale che per ogni divisione di ab per cui 
ogni intervallo A sia < 7, e per ogni scelta delle ys negli intervalli, sia. 
sempre in valore assoluto S—-u<:. 
