SULL'INTEGRABILITÀ DELLE FUNZIONI 309 
ep—@=Zk.( Pi d,); ma pg è il limite superiore dei valori 
a 
di y nell'intervallo %, che contiene l:.: g, è il limite inferiore 
dei valori di y nell’intervallo %, che contiene %,, onde 
P_i ud 
Se a>d, ogni valore assunto da P è minore di ogni va- 
lore assunto da 4%. 
Quindi si deduce che, se a<0, le quantità P, tutte finite, 
ammettono un limite inferiore, che diremo M; e le quantità @ 
un limite superiore N, e sarà 
P=M=N=@. 
Se invece a>d, detto M il limite superiore dei valori di 
P, ed N il limite inferiore dei valori di Q, sarà 
PZMZN=0@. 
$ 3. 
Se f(x) è integrabile, preso piccolo ad arbitrio e, si potrà 
fissare una quantità 7 tale che per ogni divisione di ad, per 
i cui ogni #4 <c7, « è sempre compreso fra S+ ed S—e; anche 
i valori di P e @ corrispondenti a queste divisioni sono com- 
presi fra S+: ed S—e, perchè « può assumere valori tanto 
prossimi quanto si vuole ad ogni valore di P e di Q@; e M 
ed N, quantità comprese fra P e @, saranno anche comprese 
fra S+4+: ed S—e, ossia sarà M=N—=S, perchè M, N, S sono 
quantità costanti, ed e è tanto piccolo quanto si vuole; quindi: 
« Se la funzione f(x) è integrabile, 
1° Le quantità M ed N sono eguali, ed il loro valore 
comune è eguale al valore dell’integrale; 
2° Le quantità P e @ tendono verso S col diminuire degli 
intervalli; 
3° La differenza fra due valori che possono assumere P 
«e @ corrispondenti alla stessa divisione, o a divisioni diverse di 
ab si può rendere tanto piccola quanto si vuole col prendere 
sufficientemente piccoli gli intervalli delle due divisioni ». 
