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Se in quest’ultima proposizione si suppongono P e @ cor- 
rispondenti ad una stessa divisione, posto p,—g,=4d, (oscilla- 
zione di y nell’intervallo %,) e D=Zh,d,, sarà 
a Q=ZAh,(p,—g,)=D ; 
onde: 
« Se f(x) è integrabile, D ha per limite zero, col dimi- 
nuire indefinitamente degli intervalli % ». 
Le condizioni precedenti, necessarie per l’integrabilità, non 
sono fra loro indipendenti, come dimostra il seguente sempli- 
cissimo teorema. 
8 4. 
Teorema. — La funzione f(x) è integrabile nell’intervallo ab. 
se M=N: ed il loro valore comune $ è il valore dell’integrale. 
Suppongasi p. es. a<d:; facciasi una divisione qualunque di 
ab, h, h,... h,, tale però che ogni » sia < c, quantità a 
determinarsi; e sia u—=X h,y; -. 
Essendo ,S il limite inferiore dei valori di P, preso ad ar- 
bitrio e, si potrà fare una divisione %, ly... hy di ab, per 
cui, posto P'—=Z%, p,, sia P'—S<:. Si immagini la divi- 
sione di ab proveniente dalla sovrapposizione delle precedenti ; 
e un intervallo %, di questa sia compreso in %, ed in %, ; sarà 
P'=Zk,p,, u=Zk,%,, e P—u=Zk.(p, —ys)- Ora degli 
a 
intervalli /, alcuni possono essere contenuti in qualche intervallo 
h, ; sarà per essi p, >y,, edi termini corrispondenti in P'— « 
positivi; gli altri intervalli %, contengono qualche punto della 
seconda divisione; essi sono in numero < n', e, siccome h<6G, 
la loro ampiezza totale <n'c; a questi intervalli possono cor- 
rispondere in P'— x termini negativi, ma, poichè p, — yy <A4— B, 
sarà la loro somma minore numericamente di n'o(A4— B), onde: 
P—u>—noc(A4T—B), 
ossia 
S+e+n'o(A—B)>u. 
Analogamente, essendo ,S il limite superiore dei valori di @, 
si potrà trovare una divisione %,° %,"... »',, per cui, posto 
trans A nà 
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cera i Lai 
