SULL INTEGRABILITÀ DELLE FUNZIONI S11 
Q=Lh'q', sarà S- Q'<8; e, considerando la quantità «— Q", 
si dimostra nello stesso modo: 
u>S—-e—n'c(A—B). 
Ora, preso ad arbitrio piccolo 4, potremo nel ragionamento 
(94 ' ”" . . 
che precede, supporre e < PIGALZA (A— Bb) ed n c(A4— B) minori 
% 7. 
di < chè basterà lere o < = 
iseipetgne Dastera prendere o << ____—_—_-y_gegZ=&-éé } 
PER; - 2n (A- B)" © <2n'(A-B) 
allora S+a>u>S—-a, 
ossia, fissata una quantità piccola quanto si vuole «, si può 
determinare o tale che per ogni divisione di «d per cui ogni 
h<%, e per qualunque sistema di valori delle y,, si ha sempre 
S—-u<%, e quindi x tende verso il limite S col decrescere 
indefinitamente delle %, c.v.d. 
85. 
Dal teorema precedente si deduce quest'altra condizione d’in- 
tegrabilità : 
Teorema. — « f(x) è integrabile, se, fissato piccolo ad 
arbitrio e, si può trovare un valore di P ed un valore di @ 
(corrispondenti, o no, alla stessa divisione di ab), la cui diffe- 
renza sia <&; e fra questi due valori è compreso il valore del- 
l’integrale ». 
Invero, essendo M ed N compresi fra P e Q, la cui dif- 
ferenza è — e, sarà M=N, come nell'ipotesi del teorema pre- 
cedente; ed è pure vera la proposizione inversa, come sì è visto 
al $ 83. 
Se nell’enunciato di quest’ultimo teorema si fa l’ipotesi inu- 
tile che P e @ corrispondono ad una stessa divisione di ab, 
ricordando che P—@=D, si ha: 
Teorema. — « f(x) è integrabile se il limite inferiore dei 
valori assoluti di D è zero » (*). 
E e 7 
(*) Il semplice criterio d’ integrabilità enunciato in questo teorema tro- 
vasi già dimostrato nei Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili 
