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Per completare la trattazione che precede, darò ancora i 
seguenti teoremi: 
Teorema. — « Ogni funzione continua è integrabile >». 
Invero, supposto a <b, fissato e piccolo ad arbitrio, si potrà 
determinare una quantità %, tale che per ogni valore di x com- 
preso fra a ed a+h,=a, sia f(a)—f(x)<e in valor assoluto; 
poi una quantità %, tale che per ogni valore di x compreso fra 
a, ed a, +h,=a, sia f(a)—f(a)<e£, e così di seguito. Si 
avrà in tal modo una serie di quantità a, @,, @,,.. crescenti; 
dico che possono crescere in modo da raggiungere d: infatti, ove 
ciò non avvenisse, esse tendono verso un limite c =d; essendo 
f (x) continua anche per #=c, potrò determinare un intervallo 
c—-0,c, tale che per ogni valore di x in esso sia f (2) —{()<3 ; 
ed essendo c il limite superiore delle @ a, @,... esisterà una 
quantità di queste serie a,, dove 7 è finito, compresa nell’in- 
tervallo c—, c; onde f(a)—f()<3 , e supposto 4 com- 
preso nell’intervallo 4,, c, e quindi anche nell'intervallo c— a, €, 
sarà f=-f()<3, e f(a)—f(4)<£; onde si può assumere 
a;,=€, vale a dire il valore c può essere raggiunto , e poi 
superato dalla serie delle 4 a, 4, . .,, ossia questa serie di quantità 
può effettivamente raggiungere d. Sia a a, 4,... G,- b una 
serie di quantità tali che in ogni intervallo 4, =a,—4,_, sia 
f(a,_.) —f(a)<&; sarà p,—-q,;<26, D<2e(b—a), e quindi 
D si può rendere, tanto piccolo quanto si vuole, perchè e si può 
prendere piccolo ad arbitrio, e la funzione è integrabile ('). 
reali, di U. Dint; ma esso è dedotto come conseguenza di lunghi ragiona- 
menti, che non possono ritenersi come elementari; invero l’illustre A. lo 
deduce da quest'altro criterio « f(x) è integrabile se lim D=0 col decrescere 
di tutte le A », nel quale sono inclusi concetti inutili (come quello del limite) ; 
e nelle Lezioni di Analisi infinitesimale, Pisa 1877-78, il Dini si limita a di- 
mostrare quest’ultimo criterio; e ad esso si limita pure il Pasca Einleitung 
in die Differential und Integralrechnung, Leipzig 1882, a pag. 95. 
Dai criterii precedenti si deduce con tutta facilità quello enunciato dal 
RIiEMANN Ges. Math. Werke, Leipzig 1876, a pag. 226. 
(*) Il Lipscnirz nel Differential und Integralrechnung, Bonn 1880, a 
pag. 91, per dimostrare l’esistenza dell’integrale, suppone subito /() con- 
tinua; ed inoltre a pag. 97 fa una nuova ipotesi equivalente alla continuità 
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