SULL'INTEGRABILITÀ DELLE FUNZIONI 313 
Teorema. — « Ogni funzione (compresa fra limiti finiti) 
discontinua per un numero finito di valori di x nell’intervallo 
ab è integrabile ». 
i Invero, se /(x) diventasse discontirtua per x = compreso 
fra a e b, si divida l'intervallo a, c—e, entro cui la funzione 
è continua, in parti in modo che il valore di D corrispondente 
sia <%, e l'intervallo c+e, d in parti in modo che il valore 
corrispondente di D sia <f8; anche ad risulterà decomposto in 
parti, ed il valore di D corrispondente a questa divisione sarà 
D<a+B+(e+e)(A— 5) 
e siccome e, e, 4 e {2 si possono prendere tanto piccoli quanto 
si vuole, il limite inferiore dei valori di D è lo zero, e la fun- 
zione è integrabile. 
Ecc. Ecc. 
Molti autori dimostrano l’esistenza dell’integrale con consi- 
derazioni geometriche; ma, oltre all’escludere dalla considerazione 
funzioni integrabili, i ragionamenti non sono del tutto soddisfa- 
centi. Invero in essi si suol considerare l’area della figura senza 
definirla; e parmi che l’area, considerata come quantità, d'una 
figura piana curvilinea sia appunto una di quelle grandezze geo?- 
metriche, che, come la lunghezza d’un arco di curva, ecc., spesso 
la nostra mente concepisce, o crede concepire, chiaramente, ma 
. che hanno bisogno, prima d’essere introdotte in analisi, d’essere 
ben definite (*); e parmi questo più importante per l’area, perchè 
sul suo concetto si sogliono nei trattati elementari basare altre 
dimostrazioni. 
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equabile, la quale è evidentemente inutile. Egli dice invero « Gegenwàirtig 
fiigen wir noch die Voraussetzung hinzu, dass jedes inneralb der Werthe 
a und d liegende Paar von Werthen x und £ +, sobald der numerische 
Werth von A unter eine gewisse kleine Gròsse è herabsinkt, kleiner bleibe 
als eine beliebig kleine Gròsse ) ». 
(*) « .., Je compte parmi ces points défectueux (della geometria) l’obscu- 
rité qui règne sur les premières notions des grandeurs géométriques, et sur 
la manière dont on se représente la mesure de ces grandeurs ... ». LoBAT- 
scHEWSCKY, 1héorie des paraltèles, trad. par HoiEL. 
