314 G. PEANO - SULL INTEGRABILITÀ DELLE FUNZIONI. 
Ora, avendosi una figura di forma semplice, il metodo più 
naturale per concepirne la sua area è d’immaginare dei poligoni, 
i quali racchiudono nel loro interno la data figura, e dei poli- 
goni, contenuti nell'interno della data figura; le aree dei primi 
ammettono un limite inferiore, e le aree dei secondi un limite 
superiore; se questi limiti coincidono, il loro valore comune è 
l’area della figura data, quantità ben definita, che si può cal- 
colare coll’approssimazione che si vuole; se invece quei due limiti 
potessero non essere eguali, sarebbe ad escludersi in questo caso 
il concetto di area. Quindi, per parlare dell’area d’una figura 
è necessario che si verifichi prima l’eguaglianza di quei due 
limiti, il che non è altro che la condizione d’integrabilità pre- 
cedente. 
Il Serret dimostra appunto la loro eguaglianza nel suo 
« Cours de Calcul differentiel et integral, Paris 1879 » al 
N. 10, dove comparisce l’area limitata dalla curva y=f(2), 
da due ordinate, e dall’asse delle x; ma in questa dimostrazione 
si debbono anzitutto fare l'ipotesi che f(x) sia continua (pag. 12, 
linea 16), e che non faccia infinite oscillazioni nell’intervallo 
considerato (pag. 13, prime linee), le quali ipotesi non fa il 
Serret, il quale definisce più tardi la continuità delle funzioni; 
oltre a ciò la dimostrazione non può ritenersi esatta. Invero in 
essa si ricorre al principio del N. 9, il quale è enunciato e 
dimostrato in termini vaghi ed indeterminati; nè pare facile, 
colle poche definizioni e proposizioni premesse dall’autore, ren- 
dere rigorosi i ragionamenti dei numeri 9 e 10; ad ogni modo 
è certo che vi si considerano come infinitesime delle quantità 
della forma f(x +4/)—f(x), ove sono variabili ad un tempo 
x ed 4; in altre parole si ammette nella dimostrazione che si 
possa, fissato ad arbitrio e, determinare una quantità © tale 
che per ogni valore di R<%, e per ogni valore di x nell’inter- 
vallo considerato sia sempre f(x +4%)—f(x)<£; ed è vero che 
se si suppone f(x) continua, essa soddisfa alla condizione pre- 
cedente (della continuità equabile), ma questo è un teorema che 
ha bisogno d’essere dimostrato. 
