SUL PROBLEMA DI PFAFF 391 
Per riconoscere poi il più alto grado predetto, basta la con- 
siderazione dei soli sottodeterminanti principali, perchè « se én 
un determinante gobbo svaniscono tutti i sottodeterminanti 
principali di grado 2r, svaniranno, oltre a tutti i rimanenti 
sottodeterminanti dello stesso grado, anche tutti i -sottodeter- 
minanti di grado 2r —1 >» (Frobenius, Mem. cit., pag. 244, 
Cfr. il $S 7 della mia nota, « Sulle proprietà invariantive, ecc. » 
presentata a questa R. Acc. nella seduta 11 marzo u. s.). 
_ Se l’espressione u,, è di classe pari p=2r, essa si può com- 
porre linearmente colle derivate parziali rispetto alle d 2 del suo 
covariante bilineare : 
B_dau =dus= ) 0,;,(02;dox,-dx;dx). 
ik 
Invero nelle forme lineari 
00 
ddr; 
ua, =, de, +u,dx,+...+u,d%,, 
=0,,4x,+0,,42z,4+.-:.4+9,,dx,(k=1,2.;..n), 
pel teorema I, fra le prime » ve ne sono allora 2r fra loro 
indipendenti e con queste si possono esprimere tutte le altre. 
Mentre, se la classe è dispari, p=2r +1, nelle dette forme 
solo le prime » si possono esprimere linearmente in funzione di 
25 fra esse e non la %;,, perchè se ciò avvenisse dovrebbero 
annullarsi tutti i determinanti di grado 2r+1, formati coi 
coefficienti delle n -- 1 forme e quindi dovrebbero svanire in A% 
tutti i sottodeterminanti di grado 2r +2, i quali sono funzioni 
‘lineari ed omogenee di quei determinanti (Cfr Frobenius, Mem. 
cit., $ 5). 
Nel caso della classe pari sarà adunque possibile soddisfare 
‘ad equazioni della forma 
D+ 0 =, A) 
essendo ) essenzialmente diverso da zero. Inoltre, sempre pel 
| ‘teorema I, per gli stessi moltiplicatori sarà b ), u,=0, essendo 
k 
questa equazione una conseguenza di 2 fra le precedenti (Cfr. 
