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SUL PROBLEMA DI PFAFF 393 
La condizione, necessaria e sufficiente affinchè il sistema (a) 
sia completo, è che formati tutti i covarianti bilineari dei 
primi membri delle equazioni di (2), questi covarianti svani- 
scano identicamente, quando vi si ritengano le da legate tra 
loro dalle (2) e le dx legate da queste stesse equazioni, in cui 
alla caratteristica d si sia sostituita la è . 
È facile verificare direttamente col calcolo (il che non sarebbe 
neppure necessario) che, se si risolvono le equazioni (4) rispetto 
ad m differenziali, le condizioni volute dal ricordato teorema 
coincidono con quelle stabilite da Mayer pella <llimitata integra 
bilità del sistema così ottenuto. 
Infatti, se il sistema (2) è completo, sarà pure completo qua- 
lunque sistema equivalente ottenuto da questo, combinandone 
linearmente le equazioni ed in particolare anche quella combi- 
nazione lineare, che dà la soluzione di (%) rispetto ad m diffe- 
renziali. Immaginiamo che le (2) si possano risolvere rispetto a 
Me ri dr e che risulti 
han-m 
#z= edi (in m4+1,.7.,#) <:..(B): 
h=1 
allora pel teorema ricordato dovrà essere 
han-m 
DI (dePdn—deMdn)=0, 
ia 
OSS1A : 
Li la sid 
> De i sarta) 
E quest’equazione deve divenire identica quando alle d2,, 
dx,, pei valori )=n—m+1, ....., », si sostituiscono le 
espressioni date dalle ((f) e dalle analoghe equazioni in d.,. Pi 
ha così agevolmente 
h=n-m k=n—-m 
dei del 
0— e 1 [ate 1 
di di [( OL, 0%, 
dci de È 
ta) a (4) dx, da, —daxydx 
+) a Ma LA ela, )l( ni dr si .) 
