SUL PROBLEMA DI PFAFF 395 
È ora facile dimostrare che il sistema (‘)) è completo. Infatti 
consideriamo l’espressione differenziale 7%,,, ove t indica una 
nuova variabile indipendente ; per quest’espressione il covariante 
DI 
bilineare è: 
SITTE 
N 
T(O0uz,, — Aus.) +Ùtua,— dtu2z,; 
Se ora si pone dlogt = — Xdt, e si eguagliano a zero le 
derivate parziali di questo covariante rispetto alle dx e dt, si 
hanno precisamente le equazioni (7). Ma d’altra parte è noto 
(Frobenius, Mem. cit., $ 19) che quel sistema d’equazioni 
differenziali totali, che si ottiene eguagliando a zero tutte 
le derivate parziali, rispetto alle d, del covariante bilineare 
di qualsiasi espressione differenziale, è sempre un sistema com- 
pleto, dunque le (7) costituiscono un sistema completo. 
Se ora si risolvono le (7) rispetto a A dt ed a 2r—1 delle 
da, per esempio dx,_,,4, +++ d%,, per queste ultime risulte- 
ranno delle espressioni, che non contengono affatto la variabile # 
e che per ciò costituiscono di per sè, come manifestamente ap- 
parisce dalla dimostrazione del precedente $, un sistema com- 
pletamente integrabile di 2y — 1 equazioni. 
Questo sistema di 2y — 1 equazioni differenziali totali suolsi 
chiamare 7 1° sistema di Pfaff. 
È ben noto che i suoi integrali sono funzioni delle variabili 
x» 
Z, 
i rai 
Se 
2 Epi 
Slenia iti a_i Yi,» YI 
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e che perciò, se si designano con v,.....%,,_, 2Y—1 qua- 
lunque de’ suoi integrali, fra loro indipendenti, sarà identica- 
mente i 
Was =P(V ddt. 0 + Vani Baez) 0 
ove le V sono funzioni delle sole v e p non è esprimibile in 
funzione delle sole v ("). 
(*) Il sig. Dargoux nella Memoria citata dà delle dimostrazioni molto 
semplici di questo e di altri teoremi, di cui fo uso in questa Nota, 
