SUL PROBLEMA DI PFAFF 399 
Queste equazioni costituiscono per l’espressione di classe dispari 
(=2r+1) considerata il 1° sistema di Pfaff. 
Immaginiamo al solito che il 1° sistema di Pfaff sia risoluto 
rispetto a 2r differenziali, poniamo d&,_.p4r e... dxn, allora 
‘ wi potremo applicare il metodo d’integrazione di Mayer. 
Macon. - Var UN sistema qualunque di integrali fra loro 
indipendenti del 1° sistema di Pfaff (è chiaro che questi integrali 
dovranno essere indipendenti per rispetto alle variabili %,_.r+. 
Foubo %,), allora si avrà, com'è noto, 
= 
Un =Idp+V,dv,t...+V,,d%v,, 
ove V,,... V,, designano funzioni delle sole v, ...v,, €9 è 
una certa funzione, non esprimibile per le sole v . 
Se ora tra le variabili x si stabilisce la relazione v,,=v 
ove ni è una costante arbitraria e per mezzo di questa si eli- 
mina una delle x,_.,,,,+--.. %,s per esempio la x,, avremo 
dalla precedente equazione l’altra 
e e.. LVO dol. 
— ove le V! sono funzioni delle sole v"’. Di qui si conclude che 
iu) è della classe 2r—1 (ma non di classe minore) e, con un 
| ragionamento simile a quello del $ precedente, che conoscendosi 
la forma canonica di u si ha immediatamente quella di w,,. 
Pel teorema di Mayer si ottiene un integrale del 1° sistema 
di Pfaff di «,, con un’operazione 2r, allora applicando lo stesso 
metodo ad % Si con un'operazione 2r—2 se ne dedurrà una 
nuova espressione differenziale ul di classe 2r — 3 e così di 
seguito. In fine si giungerà ad un’espressione % Hi. di classe 1, 
cioè ad un differenziale esatto, la cui EC pi forma cano- 
nica richiede una quadratura, che indichiamo come operazione 0. 
Questo processo d’integrazione, salvo il notevole perfezionamento, 
che vi porta il teorema di Mayer, fu dato pure da Clebsch 
(Mem. cit., $ 9). Concludiamo adunque che la risoluzione del 
problema di Pfaff per un'espressione differenziale di classe 2r + 1 
richiede le operazioni 
er, 3èr —-2, 2r-4,..... nor di, 
