416 G. PEANO —- SULLE FUNZIONI INTERPOLARI. 
mod È 
n+p 
rei li 
XL 
— mod 
t_-x,)...(t-a,)\r—e 
e facendo crescere indefinitamente p, si ottiene 
lim È 
n4p=0% c..v. d. 
Se poi si fa x eguale a qualcuna delle quantità x, 2, ... 
la serie si riduce ad un polinomio, ed è perciò convergente. 
Esempio. — Vogliasi sviluppare in serie colle funzioni inter- 
polari una funzione tale che per «= 0 vale 1, e che per @= 1 ; 
e dintorni vale zero. Basta prendere x,=0, x,=2%;=...=1; 
si ottiene la serie 
f(a) =1-x—-a(1-2)-x(1-2*—x(1—-2)°... 
convergente per tutti i valori di x compresi nel cerchio di centro 
1 e di raggio uno, ed avente per somma zero; convergente pure 
per x=0, ed avente per somma uno. 
5° Caso. 
Ogni funzione f(x) continua ed uniforme in tutto il piano 
è sviluppabile in serie colle funzioni interpolari corrispondenti ad 
argomenti che non crescano indefinitamente. 
Invero sia R maggiore del modulo di x x, x,..., e si prenda 
per contorno, lungo cui si integra, un cerchio di raggio R'>S 
X- n 2 R 
cp sa 
supporre <1, perchè basterà prendere R'>3£; il resto della 
serie è 
1 dt 
Release Fò) ’ 
Qrif(t-2x,)...(t-x,)(t-2) 
7A DRS | 
SA R_-R 
essendo A>mod f(x) , ove # percorra il cerchio di raggio 
onde lim. mod &,=0, 0. di 
e sufficientemente grande; sarà mod , che posso 
e quindi 
2 rmod E, < ( A.2rR°, 
