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Sulla formula di Taylor; 

 Nota del Socio Prof. Giuseppe Peano. 



La formula di Taylor, che si può considerare come fonda- 

 mentale del calcolo infinitesimale, si enunciò, fin dopo Lagrange, 

 sotto la forma: 



fi^x + li)=:^f{x)-\-hf\x)+'^J"{x)+ etc. 



senza alcuna preoccupazione sul significato preciso di questa 

 eguaglianza. 



Ma dopo la distinzione accurata delle serie in convergenti e 

 divergenti, nel corrente secolo la si ritiene valida solo quando 

 la serie del secondo membro è convergente, ed ha per somma 

 il primo. E poiché la serie scritta può essere divergente per alcuni, 

 e anche per tutti i valori di //, ovvero essere convergente e non 

 aver per somma il primo membro, ne viene di conseguenza che 

 la formula perde ogni valore teorico , ed in ogni caso pratico 

 bisogna esaminare se la formula sia vera o non. 



Ma la stessa formula si può interpretare in un altro modo, 

 indipendentemente dalla convergenza delle serie, e allora la for- 

 mula suddetta sussiste qualunque sia la funzione f{x)^ purché 

 avente le derivate che si scrivono. Oggetto di questa Nota è 

 appunto questa nuova interpretazione. Dico nuova, perché in nessun 

 libro (ch'io sappia) è esplicitamente enunciata; però essa è estre- 

 mamente affine a ciò che scrissero tutti gli autori, studiando le 

 serie senza preoccuparsi della loro convergenza ; ed anzi in certi 

 punti non faccio che rienunciare, leggittimandole, le loro propo- 

 sizioni. 



Sia f[x) una funzione reale della variabile reale x. Suppon- 

 gasi che col tendere di a; a zero, f{x) tenda ad un limite a^. 



