SULLA FORMILA DI TAYLOR 41 



Se f{x) è continua, sarà aar=f\0). Allora f{.r) — ao è una quantità 

 infinitesima con x; la si divida per x, e si passi al limite facendo 

 tendere x a zero. Si supponga che questo limite sia determinato 

 e chiamiamolo r/j : 



,. f{x) — a, 



lim = «, . 



Allora la differenza — ^^ — «i ò infinitesima con x; divi- 

 de 



diamola per x, e passiamo al limite, e sia • 



,. X ^ .. f{x) — ao — aiX 



bm = hm r-^ = a, 



X T 



e analogamente sia 



f{A — «0 

 X 



X ,. f{x) — ((o — aiX — a^_x' 

 lini = lim = «3 



X x^ 



e così via. 



Con questo processo, data la funzione f{x), deduciamo una 

 successione di quantità reali Gq, ai, a^, . . . , la quale può con- 

 tinuare indefinitamente (cosa che avviene nei casi più comuni) 

 ovvero arrestarsi quando uno di quei quozienti non ha più un 

 limite determinato e finito. 



Noi converremo di scrivere: 



f[x) = «0 + «1 ^' + «2 ■^' + • • • + f'» ■^" + 6cc. •••(!) 



'per indicare che 



. f{x) — ciò — a^x ~ a,x- — . . . — «„_i x"-^ 

 lim ~!-^ = a, (2) 



X— ^u 



Adunque il significato del segno = nella (1) non è quello 

 che la serie del secondo membro sia convergente ed abbia per 



