42 GIUSEPPE PEANO 



somma f{x), ma quello espresso dalla formula (2). Questa formula 

 si può pure scrivere sotto le forme: 



hm-^ =0 , ...(3) 



f (x):=ao-\-aiX-{-a^x^ -{-...-[- a" x"-{- a x" , ove lim « = 0. ...(4) 



e si può anche enunciare cosi: l'eguaglianza (1) sta per indicare 

 che la differenza fra f{x) e il polinomio aQ + aiX-\- ... + a„x" è 

 infinitesima con x, d'ordine superiore sdVn'"". 



Se f{x) è sviluppabile in serie secondo le potenze ascendenti 

 di X, fi.no al termine di grado w, secondo la formula (1), il che 

 significa se esistono le quantità determinate e finite «o «i • • • a» 

 che soddisfano alla condizione (2), allora, come è facile a vedere, 

 si avrà : 



lim f{x) = «0 



.. f{x)-ao 

 lim = «1 



X 

 f(x) — tto— ttiX 



lim — ^ = a. 



-, / \00) — O Q "~" Uff % • • • "■"■ ^n— 2 ^ 



lim -, = a„_i 



ossia la (2) ha per conseguenza tutte quelle che da essa si de- 

 ducono leggendo al posto di w, uno qualunque dei numeri di 

 esso minori. 



Diamo ora alcuni teoremi sulle operazioni su questi sviluppi. 



Teorema I. — Se 



f{x) = «0 + «1 ^ + • • • + ^"^" + ecc. , 

 e 



(^ {x) ^ha + h^x + . . . ■\- 1)"x" + ecc. , 



sarà 

 f{x) -\'(p{x) = («0 + 6o) + («^1 + ^i)^ + • • • + («n + h) ^" + ecc. 



