SULLA FORMULA DI TAYLOR 43 



Infatti scritto f{x) sotto la forma ao-\-...-\-a„x"+(x.x'\ e c,(.r) 

 sotto la &o + • • ■ + ^»«" + /5 x" , sommando sarà f{x) -f- cp (a;) = 

 = (^'o + &o) + • • • + (^'« + ^..) •^" + 7 *" . ove si è fatto 7 = a + [S ; 

 e poiché a e |3 sono infinitesimi con x, anche y è infinitesimo 

 con X, ossia sussiste la formula a dimostrarsi. 



Teorema IL — Nella stessa ipotesi sarà : 

 /"(*')X0P(^) = «o^o + («o'>'i + «i^o)'^+- • + («o^« + «^i^«-i+--+Mo)^"+ecc. 

 Dimostrazione analoga. 



Teorema III. — Se 



f[x)^=aQ + a^x-\-... + a„x" + ecc. , 

 e 



[!^{x)=^C(i + CiX + ... + c„ x" + ecc. , 



e, supposto ao non nullo, si ricavano le bo bi . . . b„ dalle equa- 

 zioni : 



aohQ = Co , aohi + aiì)o=Ci , ... , aob„-\-aibn_i + ... + a„bo = c„ , 

 si avrà: 



PL^ = h, + b,x + hx'-\-... + h„x"-\-ecc. 

 f{x) 



Se l'espressione f(x-\-h) si può sviluppare secondo le potenze 

 di h, nel significato definito, e si ha : 



f{x + ^) = «0 + ^l '^ + <^2 ^^ + 6CC. , 



sarà ao = ]ìm.f{x-\-h) ; quindi se f{x) è continua pel valore con- 



siderato di x, sarà f/o =^f{^) • 



In questa ipotesi sarà a^ = lim — ^ ^ — ; quindi f(x) 



fV 



ha derivata pel valore considerato, e questa vale ai . 



Teorema IV. — Se la derivata f'(x + h) si può sviluppare 

 in serie secondo le potenze di h fino al termine di grado n, 

 cioè : 



f (^x-\-h)=f' {x)-\-aih-\-aih^ + .,. + a„h'' -{- ecc. , 



