44 GIUSEPPE PEANO 



sarà 



h- li ìf^^ 



. f{x + h) = f{x) + h f (a?) + «1 — + «2 -77 + • ■ • + «« — r-r + ecc. 



Infatti completando il polinomio del secondo membro con 

 a1i'\ ed integrando, rispetto h, si avrà 



f{x + h) — f{x) = hf'(x) + ...+a,,-^ + \^c^.Kdh . 



Ma l'ultimo termine si può scrivere p ]o'd]i=z'-!, ■ , ove 



^ è uno dei valori di a nell'intervallo da ad h\ e poiché a 

 è infinitesimo, lo è pure |3. 



Teorema V. — Se f(x) ha le successive derivate, fino 

 a//'n'"^. pel valore considerato di x, si ha: 



f{x + h) = f{x) + h f {x) + ... + ^ r{x) + ecc. 



Infatti, per ipotesi, si ha: 



h 

 ossia 



y^'C-i) ^jc + h) = /■("-'^ (a;) 4- h f^"^ (x) + ecc. 



integrando rispetto h, vale a dire applicando il teorema prece- 

 dente, si ha: 



/-("-'-) (^. + /,) = f("-^-) {x) + h /-("-') (:r) + ^ /■(") (*•) + eco , 



e integrando ancora n — 2 altre volte si ha la formula cercata. 



Questo ultimo teorema fu già da me dato nel Mathesis , 

 t. IX, p. 110. 



Così restano interpretate alcune formule e legittimati alcuni 

 passaggi affatto comuni nei Matematici dei secoli scorsi. 



Si osservi però che dal fatto che f{x-\-h) è sviluppabile 

 secondo le potenze di h , 



f{x + h) = «0 -I- «1 /i 4- «j /t^ + . . . + a„ /r + ecc. 



