SULLA FGRMT^LA DI TAYLOR 4 è 



non ne deriva la sua continuità. Cosi f[x) può essere, come già 

 si è osservato, discontinua pel valore considerato ài x , se f{x-\-h) 

 tende ad un limite diverso da /"(./;) col tendere di h a zero. 

 Supposta la continuità di /"(,t) , pel valore considerato di x, non 

 ne viene la sua continuità nelle vicinanze di esso Cosi se indi- 

 chiamo con E{3) il massimo intero contenuto in ^, e poniamo 

 {z)=^z — E[s), allora la funzione 



f{x)=x"-^e{^^l 



ove si convenga di attribuirle il valore per a:; = , è continua 

 per a: — , sviluppabile secondo le potenze di x fino al termine di 

 grado 11 (e tutti i coefiicienti sono nulli), ma essa è discontinua in 



ogni intorno del valore 0. La funzione e ''■SÌ — ], cui si attri- 



=' \xl 



buisca il valore per x=^0 , è sviluppabile indefinitamente, e tutti 

 i coefiicienti sono nulli; però essa è discontinua in ogni intorno di 0. 

 Se f{x-\-h) è sviluppabile secondo le potenze di h, ed è 

 continua pel valore considerato di x , cioè se 



f{x + h) = f{x)-\-aJi-{- a. Ir + ecc. , 



ne viene di conseguenza, come già si è detto, che ai:=f'{x): 

 quindi la definizione data da Lagrange , che f (x) è il coeffi- 

 ciente di h nello sviluppo di f{x-\-li) secondo le potenze di h, 

 coincide colla attuale. Ma non ne viene di conseguenza che anche 

 f'{x-\-]i) sia sviluppabile in serie, e si abbia f'{x-\-h)^=f'{x) 

 -\-2 a.Ji-\-QQ,c. Basta considerare i due esempi precedenti, in cui 

 /"(.e) è sviluppabile in serie, ma, essendo discontinui nelle vici- 

 nanze di 0, non ha, in quelle vicinanz3. derivata. Quindi ancora, 

 dal fatto che 



f{x + h) = f{x) + h f (x) + a, /r + ecc. , 



f"(x) 

 non ne deriva come conseguenza che a., sia eguale a — - — ; poiché 



può la funzione mancare di derivata prima nelle vicinanze del 

 valore considerato di x, e quindi non avere per quel valore di 

 X derivata seconda. 



Pertanto i teoremi I, II e III che danno i cofficienti dello 



