4G GIUSEPPE PEANO - SULLA FORMOLA DI TAYLOR 



sviluppo d'una somma, d'un prodotto, d'un quoziente di due 

 funzioni, mediante i coefficienti di queste funzioni, supposta l'e- 

 sistenza delle derivata, permettono di trovare, e per una via al- 

 quanto più semplice dell' ordinaria, le derivate successive d' un 

 prodotto e d'un quoziente. Queste regole però sono alquanto più 

 generali delle regole di derivazione, potendo ancora sussistere 

 quando mancano le derivate. 



Gli infinitesimi che compaiono nello sviluppo di 



f{x) = «0 4- tti a; + «2 ^^ + • • • 



sono essi variabili o costanti ? La risposta a questa questione di 

 attualità dipende dal punto di vista da cui le consideriamo. 



Possiamo considerare la quantità a„x". cioè il valore che 

 assume la funzione a„x'' quando ad x si attribuisca un valore 

 qualunque; e questo valore è un numero variabile ed infinitesimo 

 con x\ cosi si ha un infinitesimo variabile. 



Oppure possiamo considerare la funzione indicata con a„x'\ 

 ossia l'operazione per cui ad ogni numero si fa corrispondere la 

 sua potenza n" moltiplicata per r/„; e questa funzione, o ope- 

 razione. corrisiìondenza è un ente costante, dati l' esponente 

 w e il coefficiente a,,. Ora, date più funzioni f{x), g{x), defi- 

 nite in un intervallo da un numero positivo conveniamo di dire 

 che nelle vicinanze di . la prima è maggiore della seconda, e 

 di scrivere f>(j, se si può determinare un intervallo da ad 

 un numero positivo in modo che per ogni valore di x interno 

 ad esso si abbia f [;i:)~> g{x)\ e chiamiamo, secondo il solito, 

 multiplo secondo il numero (reale) m , di /"(r), la funzione 

 mf[x). Allora, posto f^{x)=x''y i;e viene che f^{x) è maggiore 

 nelle vicinanze di 0, di ogni multiplo di fr+ì{x), ossia, qualunque 

 sia m, si ha f^^m f^^i'. ossia f^+i è un ente costante, infini- 

 tesimo rispetto ad f^ , mentrechè f^^i (x) è un ente variabile , 

 infinitesimo rispetto ad f,.{x). 



