180 PILO PREDELLA 



22. Due omografie generali proiettive hanno la stessa carat- 

 teristica e rispettivamente gli stessi invarianti assoluti perchè con 

 una proiezione gli spazi fondamentali si trasformano in spazi 

 fondamentali e gli invarianti assoluti (rapporti anarmonici ecc.) 

 non cambiano; ma anche viceversa, e infatti: 



Abbiansi in S„ ed in >S''„ due omografie colla stessa carat- 

 teristica e gli stessi invarianti assoluti. Fissiamo in S„ i vertici 

 di riferimento come abbiamo fatto per ottenere le (19) ed ar- 

 bitrariamente il punto unità, e così in S'„. 



Le due omografie saranno allora rappresentate da identiche 

 relazioni. Passando quindi con una proiettività dagli n + 1 ver- 

 tici di riferimento e dal punto unità della prima omografia ri- 

 spettivamente agli omonimi punti della seconda passeremo dalla 

 prima alla seconda. Badiamo che fissati gli ?i-\- ì punti di ri- 

 ferimento e il punto unità in S„, i loro corrispondenti in S'„ 

 pei quali si passa dalla prima omografia alla seconda sono scelti, 

 i primi ]t' arbitrariamente in un F[]i' — 1] cioè in una totalità 

 co'''"*, gli h" che seguono in una totalità c<.^'~^, ecc. e finalmente 

 il punto unità in /S'„ cioè in una totalità co". Complessivamente 

 il gruppo degli n+2 punti fissati in S„ si può scegliere in 

 una totalità n+h'{h'— 1) + h" {h"-l) + . . . + A ('^(/<^'^— 1) = 

 n-\-lh{h — 1) volte infinita di gruppi. 



23. Date dunque due omografie generali aventi la stessa 

 caratteristica e gU stessi invarianti assoluti esistono oo"+^''('^'^ 

 proiettività colle quali si passa dall'una all'altra. 



§ 3. 

 Caratteristica di un'omografia qualunque. 



Siano F[h\—1], F[h,"-1]. . . F[/^W-1] gli spazi fonda- 

 mentali di punti di un'omografia qualunque in S„. 



Ad J'[/i'i — 1] è coniugato uno spazio fondamentale di piani 

 di sostegno G[n — h'i] . 



F{h" — i'] F[h^''^—i] spazi indipendenti e tali che 2/i = n+l, per un 



punto M passa uno ed un solo 5[5 — 1] appoggiato in un punto a ciascuno 

 di questi spazi »), Nello spazio S[» — 1] avremo un'omografia subordinata 

 con a punti uniti e cogli stessi invarianti della data, e allora per trovare il 

 corrispondente di M procederemo come si è detto sopra. 



