SULLA TEORIA GENERALE DELLE OMOGRAFIE 181 



Supponiamo che F[h\~l] sfìghi G\n-h\] in un F[h\ — 1]. In 

 G[n—h\] sarà contenuta un'omografia subordinata i cui spazi fon- 

 damentali saranno F[h\~\] F[h\-ì] . . . F[Ji,^''>—l] (*); e nella 

 quale ad i^[/t'j — 1] sarà coniugato uno spazio fondamentale di 

 piani (piani per G[n— /^i] ) il cui sostegno sarà un certo 

 G[H—h\ — h'i]. Supponiamo che Fih\—'['\ feghi G[n—ìi\ — h\] 

 in un jF[A'j— 1]. In G[n — h'i—h'^] sarà contenuta un'omografia 

 subordinata i cui spazi fondamentali saranno F[h'3—ì] F[Jt.\ — 1] 

 . . . i^[/^/''— 1]. Cosi proseguendo finiremo col trovare uno spazio 

 G [n — ]i\ — //,—... — Ji'jz-i] in cui sarà contenuta un' omo- 

 grafia subordinata i cui spazi fondamentali saranno F[h'p, — ì], 

 F[h,"-1] . . . i^[/iW-l]; dove F[h'p,-1] non segherà il so- 

 stegno G[n -h'i—h'i— . . . -/i'y] del suo spazio coniugato (**). 



In G[n — h\—h'i — . , . — /''y] è contenuta un' omografia su- 

 bordinata in cui gli spazi fondamentali sonoF[/?i" — 1], F[hi" — 1], 

 . . .i^[/?/''^— 1]. Così nello spazio G[n—h\ — A'j— ...7/^] non c'è 

 più traccia dello spazio fondamentale J^[/<'i — l], e d'altra parte 

 abbiamo scoperto nello spazio F[h\ — ]] degli altri spazi 

 F\Ji'i—ì], . . . F[ìt'j/ — l] ciascuno immerso nel precedente per 

 la stessa loro definizione, e la cui importanza si farà piìi mani*-^ 

 festa in seguito. Si ha 



/A>/4> ^h'y. 



In G[n — Ji'i— Ji'i — . . . //^] riguardo allo spazio fondamentale 

 F[Jii" — 1] rifacciamo la stessa analisi fatta in S„ riguardo allo 

 spazio F[h'i — 1]. Entro lo spazio i^[7ij"—l] verremo a scoprire 

 gli spazi F[JuJ — l] . . . F[h"p„ — l]; e cosi via riguardo ad 



(*) Perchè il sostegno G[n — h^^ dello spazio coniugato di F{_h/ — i] 

 contiene (12) F[/!i"— 1] F[')/'' — 1] e contiene per ipotesi F[/»/— 1]. 



,**) Questo deve avvenir*. Infatti le dimensioni degli- spàzi <j[« — ''i'^, 

 G[n — /),' — ^2']» ^[** — '^'i — ''2' — ^3'] ? • • • ^^^ ™^" mano si trovano vanno 

 decrescendo, ma non possono diventare minori di ^,"-{-■.. + ^1/'^ — 1; 

 perchè gii spazi G[n — A^'], G[n — A/ — /ij'], G[n — hi — h^' — h/'],... 

 contenendo (12) gli spazi F[^h^" — 1] , . . F[/ii''^ — 1 ] contengono anche lo 

 spazio Sl^hi" -\- h^"' -\- ...-{- l'i"^ — 1] a cui questi appartengono. Dunque fi- 

 niremo col trovare uno spazio FWp- — 1] che non sega più il sostegno del 

 suo spazio coniugato. Se G[n — h^'^ non sega Flh^' — 1], p'zn i. Che G\n — A/] 

 possa segare i^C'i/ — 1] risulta chiaro dalle (41). 



