188 PILO PREDELLA 



40. Le n-\-l coppie caratteristiche di punti corrispondenti 

 insieme alla condizione che in II[g'—l] . . . H[g^''^—\'\ le omografie 

 subordinate abbiano un solo spazio fondamentale e insieme agli 

 invarianti assoluti determinano l'omografia > (*). 



Infatti: Prendiamo per vertici di riferimento 1 . . . w + 1 

 rispettivamente i punti caratteristici di H\^g' — 1]: Ay . . . A^ Bi 

 . . . B^ Ci . . . C^ Di . . . Dg, e poi sempre nello stesso ordine 

 i punti caratteristici di II[g"—ì] . . . Hlg^'^ —ì], e vediamo se 

 le relazioni omografiche 



sono determinate e che forma vengono a prendere. 



Intanto osserviamo che al vertice r"'""" della piramide di 

 riferimento, considerato come appartenente alla figura y, corri- 

 sponde un punto le cui coordinate sono a^^a^i . . . a^^i; cioè 

 sono i termini della colonna r"""" del modulo. 



Interpretiamo i punti senza apice come appartenenti alla figura y. 



Ai vertici 1 ... a (che sono i punti Ai . . . AJ corrispon- 

 dono i vertici 1 . . .a, quindi tutti i coefiicienti delle prime a 

 colonne sono nulli meno Un . . . a^^. 



Ai vertici cì? + 1 . . . a + 13 che sono i punti Bi . . . B^ cor- 

 rispondono i punti B'i . . . B\ che sono in linea retta rispet- 

 tivamente colle coppie di vertici (1, «+!), (2, a + 2)... (,5,«4-^) ; 

 dunque tutti i coefficienti, delle jj colonne che seguono le a già 

 considerate, sono nulli meno («a+i,i '^'a + ia+i) (f*. 4-2,2 (^a+ì^a+t) 

 • • • K+p.p «a + e,a+p); e «„+!,: a.+La + i è la coordinata del 

 punto B' sulla retta che unisce i punti di riferimento 1 , a + 1 • 

 Prendendo sopra questa retta il punto unità convenientemente , 

 il rapporto ««+1,1: aa+i,a+i prenderà il valore che ci piace di- 

 verso da zero; e così dicasi per «„^.j 2: a„^.2^„+2, ecc. Cosi 

 continueremo riguardo ai punti C'i . . . C'^ D'i . . . D\ , ecc. 

 Siccome poi nello spazio II[^ — 1] c'è un solo spazio fondamen- 

 tale, l'equazione jD(r) = 0, (5) della omografia subordinata con- 

 tenuta in H\g' — \] deve avere una sola radice r'; quindi au= «2» = 



(*) Questo teorema dà ragione della denominazione di coppie caratteri' 

 stiche, perchè data la caratteristica dell'oniografia quelle coppie possono 

 sempre essere scelte, e viceversa date quelle coppie e gli invarianti assoluti 

 l'omografia è determinata ed ha appunto quella caratteristica. 



