SULLA TEORIA GENERALE DELLE OMOGRAFIE 191 



prefìssati, basterà scegliere arbitrariamente il punto unità di S„ 

 in un certo spazio lineare ad n — r dimensioni. 



Ora siccome li-.r', . . . }^ : r', /y.i :/,... /Jt,^ : r', Vj : r', . . . Vj : y', . . . 

 sono le coordinate dei punti B'i . . . B'^ , C'i . . . C'^ , D'i . . . D'^ , ecc., 

 se vogliamo che Xi . . . ),p , jU.i . . . p.^, v^ . . . v^ , ecc. abbiano va- 

 lori arbitrari , basterà prendere i punti unità convenientemente 

 sulle rette (1, a+1), (2, a + 2), ecc. , cioè scegliere il punto 

 unità di /Sn in uno spazio ad n — {{ì-\-y-{-ò-\-h\-{- . . . h" p,, -\-hi" + 

 . . . + AV + ' ecc.) =:= a + h:+ K" + . . . + /*/')- \ = {21)g-\ 

 dimensioni. 



Dai teoremi (36, 42) ricaviamo: 



43. « 11 gruppo degli w+2 punti (che scelti rispettivamente 

 come vertici di riferimento e punto unità riducono il modulo 

 dell'omografia alla forma (41), dove i termini fuori della dia- 

 gonale hanno valori prefissati arbitrari) si può scegliere in una 

 totalità n-\-l.h{h — \) volte infinita di gruppi dove ìi — 1 sono 

 tutti i numeri della caratteristica dell'omografia». 



Dalle definizioni di caratteristica e di invarianti assoluti , 

 risulta : 



44. « Due omografie proiettive hanno la stessa caratteristica 

 e gli stessi invarianti assoluti ». 



Dal teorema (43) si ricava poi: 



45. « Date due omografie aventi la stessa caratteristica e gli 

 stessi invarianti assoluti esistono cx^^'+^H^-'^) proiettività colle 

 quali si passa dall'una all'altra » (*). 



Infatti basta scegliere nell'una e nell'altra i vertici di rife- 

 rimento e il punto unità in modo che il modulo si riduca alla 

 forma (41), allora passando dai vertici di riferimento e dal punto 

 unità dell'una agli omonimi dell'altra si passerà dall'una all'altra. 



46. Per costruire un'omografia data la caratteristica e gli 

 invarianti assoluti basta descrivere arbitrariamente i <7 spazi 

 H[(/ — ]] . . . J3'[5rf'^ — 1] e fissare in essi le coppie caratteristiche; 



(38) queste coppie insieme agli invarianti assoluti determinano 



(39) l'omografia (**). 



(*) Da questo teorema è facile dedurre quello di Wkierstrass Sulle 

 forme bilineari. (V, Omografie, § 10). 



(**) Questa costruzione di un'omografia qualunque è molto più semplice 

 di quella di Staudt generalizzata per lo spazio ad n dimensioni dal professor 

 Bertini, Nota citata. 



