^4Ò MAÉIO PIERÌ 



sarà: 



(1) p' -\-q' = costante 



l'equazione delle linee, lungo ciascuna delle quali è costante l'in- 

 clinazione del piano tangente alla superficie sull'asse delle z: essendo 



±1 



il coseno dell'angolo, che la normale alla superficie 



forma con quest' asse. E le traiettorie ortogonali delle linee 

 3 = costante saranno rappresentate dall'equazione difi'erenziale : 



(2) pdy ~ qcìx = , 



ovvero : 



dx '■ dy '• : p : q . 



Ora, se si costruisce l'equazione differenziale delle linee a 

 tangenti coniugate delle linee (2) per mezzo della nota for- 

 mula (*): 



rdxQX + s {dxQìj + dyox) + tdyoy = , 



che esprime il legame fra i differenziali {dx, dy) , {'^x, ^y) re- 

 lativi a due sistemi qualunque di linee coniugate nel senso del 

 Dupin. trovasi immediatamente: 



{pr + qs) òx + {ps + qt)oy=0 , 



essendo ^x, oy i differenziali delle variabili x ed y sopra le 

 nuove linee. Ma il primo membro dell'equazione così ottenuta 

 può essere scritto sotto la forma: 



onde l'equazione stessa di^'iene: 



ossia : 



p--\- q-z= costante 



sopra ogni singola linea. 



*) Dupin, Déceloppemetìts rie Geometrie, § 2. 



