SOPRA LE LINEE UNIFORMEMENTE ILLUMINATE 241 



Dunque il sistema (1) e il sistema dello lineo a tangenti coniu- 

 gate delle linee (2) non formano che un solo e medesimo si- 

 stema di linee sulla superficie S: il che era da dimostrare. — 

 In ogni punto della superficie si tagliano in generale due linee 

 appartenenti rispettivamente ai due sistemi (1) e (2) : le tangenti 

 a queste due linee in quel punto saranno pertanto due diametri 

 coniugati deW Indicatrice di Dupin relativa al medesimo, e per 

 conseguenza (in ogni punto non parabolico della superficie) da 

 una qualunque di queste tangenti si dedurrà l'altra immediata- 

 mente per mezzo di costruzioni proiettive, ogniqualvolta sia nota 

 l'indicatrice stessa, o almeno l'involuzione dei suoi diametri coniu- 

 gati. E si osservi , che la tangente in un punto qualunque P 

 della superficie alla linea del sistema (2) che passa per esso non 

 ò altro che la proiezione ortogonale della parallela condotta dal 

 punto P all'asse delle z sul piano tangente in P ; ecc. 



2. Se la direzione data (asse delle z) è la verticale, le linee (1) 

 saranno le lince di costante pendenza della superficie S (rispetto 

 al piano orizzontale); mentre le linee z ^= contante ne saranno le 

 linee di livello e le (2), loro traiettorie ortogonali, le linee di 

 massima pendenza. Per la qual cosa il teorema del numero 

 precedente potrà anche essere enunciato sotto quest'altra forma : 



« Sopra una superfìcie topografica le linee di costante 



pendenza, e le linee di pendenza massima formano un doppio 



sistema di linee a tangenti coniugate (*). » 0, in altri termini : 



« la sviluppabile circoscritta ad una superficie lungo una linea 



,. \ massima i , , ,, i • i x • • i 



di < f + I pendenza della medesima ha per generatrici ret- 



/ cost&nte \ I I / 1 



\ costante / 



tilinee le tangenti alle varie linee di . ) pendenza nei 



° \ massima \ 



loro punti d'incontro con quella linea » . 



Ciò è ben d'accordo col fatto , che la sviluppabile circoscritta 



ad una superficie qualunque lungo una linea di costante pendenza 



(*) Se la superficie 5 è un'elicoide qualunque ad asse verticale , le linee 

 di costante pendenza e le eliche della superficie saranno una stessa cosa, e 

 però: « sopra una superficie elicoidale, il cui asse è supposto verticale, le 

 linee di massima pendenza sono le linee a tangenti coniugate delle eliche ». 

 Di questo caso particolare trovasi già fatta menzione in una mia Nota ^i. In- 

 torno alle superficie elicoidali », pubblicata nel Giornale della Società di Let- 

 ture e Conversazioni scientifiche di Genova, fascicolo gennaio-febbraio 1887. 



