254 e. SEGRE 



Quanto allo svolgimento della Memoria possiamo limitarci 

 a qualche cenno, perchè già la prefazione di questa lo delinea con 

 sufficienti ragguagli. La teoria generale degli àlp„ esige alcune 

 preparazioni, fra cui meritano di esser rilevate quelle dei due 

 primi capitoli relativi ai sistemi fondanientaìi di elementi qua- 

 lunque: i quali non sono altro che quelle varietà che si soglion 

 chiamare varietà lineari, od iperspazi. Un sistema fondamentale 

 vien definito da queste proprietà : che entro esso vi sian dei 

 gruppi Si, o fasci, d'infiniti elementi, tali che per due elementi 

 passi sempre uno ed un solo fascio ; e che se tre fasci Si, Si", 

 Si" hanno a due a due un elemento comune diverso dall'una 

 coppia all'altra, ogni altro fascio, che abbia un elemento comune 

 con Si ed un altro con Si', abbia necessariamente un elemento 

 comune con Si". Da questi soli postulati e dalla solita genera- 

 zione di sistemi superiori S.^ , S^, . . . mediante quelli inferiori, 

 si deducono tutte quelle proprietà che corrispondono ai principi 

 della geometria projettiva degl'iperspazi; e solo per procedere 

 nello studio delle corrispondenze projettive occorre poi aggiun- 

 gere il postulato che una corrispondenza projettiva (cioè ottenuta 

 mediante projezioni e sezioni) tra due fasci sia individuata da 

 3 coppie di elementi corrispondenti. — Questi sviluppi eran ne- 

 cessari per tutto il lavoro, perchè in esso s' incontrano ripetu- 

 tamente dei sistemi infiniti di enti che verificano le dette con- 

 dizioni, cioè che sono fondamentali ; e ad essi allora vengono 

 applicati con frutto i risultati generali ottenuti in quei due ca- 

 pitoli: il che dà origine a vari ragionamenti che si posson ri- 

 guardare come iperspaziali {*). 



(*) Del resto ragionamenti di tal natura si trovano anche nel lavoro del 

 KÒTTER e sono inevitabili in queste teorie! Come esenapio rileviamo nella 

 Memoria in esame il n. 131 nel quale si considera un certo sistema sempli- 

 cemente infinito Nk di aggruppamenti proiettivi , pel quale si dimostrano 

 delle proprietà completamente analoghe a quelle ben note della curva razio- 

 nale normale d'ordine k. Se quel sistema si rappresentasse analiticamente, 

 si avrebbe pei suoi aggruppamenti un'equazione i cui coefficienti sarebbero 

 forme binarie d'ordine k di due parametri Xi, a;^: il che spiega quell'ana- 

 logia. Chiamando m l'ordine degli aggruppamenti e (supposte coincidenti le 

 m forme) considerando per ognuno di essi gli m elementi >w-pli, la Is* del 

 De Paolis ci dà una oo' di gruppi di m elementi che il Kòtter sotto il 

 nome di involuzione d'ordine m e rango k studia (§§ 99 e seg. del suo la- 

 voro; V. anche § 189) mostrandone l'analogia con la curva razionale normale 

 d'ordine h. Essa nasce in modo evidente da una corrispondenza [ft, w]; sicché 

 si doveva presentare necessariamente ad ambi gli scienziati. 



